Print Article(HDU 3507 -- 斜率dp)

题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

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题意

将 n n 个数拆分成若干段，每段的打印代价为 m+∑ki=1c[i] m + ∑ i = 1 k c [ i ] ，求最小代价

分析

dp[i] d p [ i ] : 打印前 i i 页的最小代价
可以得到一个时间复杂度为 O(n∗n) O ( n ∗ n ) 的转移方程

dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]−sum[j])2+m} d p [ i ] = m i n { d p [ j ] + ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) 2 + m }

假设 k<j<i k < j < i ，若选择以 j j 为最优转移方案，则有

dp[j]+(sum[i]−sum[j])2+m≤dp[k]+(sum[i]−sum[k])2+m d p [ j ] + ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) 2 + m ≤ d p [ k ] + ( s u m [ i ] − s u m [ k ] ) 2 + m

对上列不等式子化简得：

(dp[j]+sum[j]2)−(dp[k]+sum[k]2)sum[j]−sum[k]≤2∗sum[i] ( d p [ j ] + s u m [ j ] 2 ) − ( d p [ k ] + s u m [ k ] 2 ) s u m [ j ] − s u m [ k ] ≤ 2 ∗ s u m [ i ]

令 yi=dp[i]+sum[i]2 y i = d p [ i ] + s u m [ i ] 2 ， xi=sum[i] x i = s u m [ i ] ，则上式为

yj−ykxj−xk≤2∗sum[i] y j − y k x j − x k ≤ 2 ∗ s u m [ i ]

不等号左边是一个 (j,k) ( j , k ) 的斜率，记为 Kj,k K j , k

至此，我们可以知道第二维的时间可以通过斜率优化，降为 O(1) O ( 1 ) ，具体的做法是：

维护一个单调队列，使得 Kq[u],q[u+1]≤Kq[u+1],q[u+2] K q [ u ] , q [ u + 1 ] ≤ K q [ u + 1 ] , q [ u + 2 ] （因为，当 Kq[u],q[u+1]>Kq[u+1],q[u+2] K q [ u ] , q [ u + 1 ] > K q [ u + 1 ] , q [ u + 2 ] 时， q[u+1] q [ u + 1 ] 是无效点，可以从图像上理解一下）
显然，只要从队首往后与相邻比较，如果有

yq[L+1]−yq[L]xq[L+1]−xq[L]≤2∗sum[i] y q [ L + 1 ] − y q [ L ] x q [ L + 1 ] − x q [ L ] ≤ 2 ∗ s u m [ i ]

那么 q[L+1] q [ L + 1 ] 必然优于 q[L] q [ L ] ，此时舍弃 q[L] q [ L ] （因为，当 q[u] q [ u ] 不优于 q[v] q [ v ] ， q[v] q [ v ] 不优于 q[w] q [ w ] ，那么 q[u] q [ u ] 必然不优于 q[w] q [ w ] ，保留无意义）

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代码

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using namespace std;

#define bll long long

const int maxn = 5e5+100;
int n,m,c,q[maxn];
long long dp[maxn],sum[maxn];

long long calup(int j,int k)
{
    return dp[j]+sum[j]*sum[j]-dp[k]-sum[k]*sum[k];
}

long long caldown(int j,int k)
{
    return sum[j]-sum[k];
}

int main()
{
    while (scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
        sum[0] = 0;
        for (int i=1;i<=n;i++) 
        {
            scanf("%d",&c);
            sum[i] = sum[i-1]+c;
        }

        int L = 0, R = 1;
        dp[0] = q[0] = 0;
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            while (R>L+1 && calup(q[L+1],q[L])<=caldown(q[L+1],q[L])*sum[i]*2) L++;

            int j = q[L];
            dp[i] = dp[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m;

            while (R-2>=0 && calup(i,q[R-1])*caldown(q[R-1],q[R-2]) <= calup(q[R-1],q[R-2])*caldown(i,q[R-1])) R--;
            q[R++] = i;
        }
        printf("%lld\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}