[BZOJ3438]小M的作物（最小割）

题目描述

传送门

题解

比较傻逼的建图方法同happiness

更科学一点的是最大权闭合子图
PoPoQQQ的题解：
首先我们先把所有的元素都放在集合A中 获得所有的a[i]和c1[i] 然后考强调内容虑最大权闭合子图
一个点如果不选就放在A集合中 选就放在B集合中
一个点如果选 那么就要扣除相应的ai并获得相应的b[i] 于是每个点的权值为b[i]-a[i]
将所有的子集拆点变成两个
一个子集中的任意一个元素选择 那么就要扣除相应的c1[i] 这个子集的权值为-c1[i] 从这个子集的所有点出发连一条到达这个点的边
一个子集中所有的元素都选择 那么就会获得相应的c2[i] 这个子集的权值为c2[i] 从这个点出发向这个子集的所有点连一条边
然后建图跑最大流即可

关于最大权闭合子图的讲解转自beginend：
现在有一个有向图，每个点有点权，点权可正可负。对于任意一条有向边i和j，选择了点i就必须选择点j，你需要选择一些点使得得到权值最大。
这个问题可以用网络流解决。
建图方法：对于任意点i，如果i权值为正，s向i连容量为其权值的边，否则i向t连容量为其权值的绝对值的边。原图所有边容量为正无穷。则最大权=正权和-最大流。
如何证明呢？我们把最大流理解成最小割，那么割掉的边一定不可能是正无穷的边。
我们发现，选择一个正权点即不割掉s到其的边，选择一个负权点即割掉其到t的边。
现在证明方案合法。
对于依赖关系i到j：
假设i点权为正j点权为负。选了i不选j即没有割掉s到i的边而且没有割掉j到t的边，显然s和t联通，不符合最小割定义。
假设i点权为负j点权为正。选了i不选j即割掉i到t的边而且割掉s到j的边，由于s到t现在不连通，我们不割这两条边同样s和t是不联通的，那么割这两边不满足割量最小，不符合最小割定义。
其余情况同理，不符合割量最小。
注意这个算法不需要原图是DAG。

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define N 4005
#define inf 2000000001

int n,m,a[N],b[N],k,x,c1,c2,s,t,sum,maxflow;
int tot,point[N],nxt[N*1000],v[N*1000],remain[N*1000];
int deep[N],cur[N],last[N],num[N];
queue <int> q;

void addedge(int x,int y,int cap)
{
    ++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=cap;
    ++tot; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0;
}
void bfs(int t)
{
    for (int i=s;i<=t;++i) deep[i]=t;
    deep[t]=0;
    for (int i=s;i<=t;++i) cur[i]=point[i];
    while (!q.empty()) q.pop();
    q.push(t);

    while (!q.empty())
    {
        int now=q.front();q.pop();
        for (int i=point[now];i!=-1;i=nxt[i])
            if (deep[v[i]]==t&&remain[i^1])
            {
                deep[v[i]]=deep[now]+1;
                q.push(v[i]);
            }
    }
}
int addflow(int s,int t)
{
    int now=t,ans=inf;
    while (now!=s)
    {
        ans=min(ans,remain[last[now]]);
        now=v[last[now]^1];
    }
    now=t;
    while (now!=s)
    {
        remain[last[now]]-=ans;
        remain[last[now]^1]+=ans;
        now=v[last[now]^1];
    }
    return ans;
}
void isap(int s,int t)
{
    bfs(t);
    for (int i=s;i<=t;++i) ++num[deep[i]];

    int now=s;
    while (deep[s]if (now==t)
        {
            maxflow+=addflow(s,t);
            now=s;
        }

        bool has_find=false;
        for (int i=point[now];i!=-1;i=nxt[i])
            if (deep[v[i]]+1==deep[now]&&remain[i])
            {
                has_find=true;
                cur[now]=i;
                last[v[i]]=i;
                now=v[i];
                break;
            }

        if (!has_find)
        {
            int minn=t-1;
            for (int i=point[now];i!=-1;i=nxt[i])
                if (remain[i]) minn=min(minn,deep[v[i]]);
            if (!(--num[deep[now]])) break;
            ++num[deep[now]=minn+1];
            cur[now]=point[now];
            if (now!=s) now=v[last[now]^1];
        }
    }
}
int main()
{
    tot=-1;memset(point,-1,sizeof(point));
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),sum+=a[i];
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&b[i]),sum+=b[i];
    scanf("%d",&m);
    s=1,t=1+n+m*2+1;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        addedge(s,1+i,a[i]),addedge(1+i,t,b[i]);
    for (int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d",&k);
        scanf("%d%d",&c1,&c2);
        sum+=c1+c2;
        addedge(s,1+n+i,c1);
        addedge(1+n+m+i,t,c2);
        while (k--)
        {
            scanf("%d",&x);
            addedge(1+n+i,1+x,inf);
            addedge(1+x,1+n+m+i,inf);
        }
    }
    isap(s,t);
    printf("%d\n",sum-maxflow);
}