斯特林反演学习小记

我们知道斯特林数和集合有着密不可分的联系，所以斯特林反演一般就用于集合划分上。

斯特林反演是用来求容斥系数的。

栗子：

bzoj4671: 异或图

直接做很难做。

枚举一个集合划分，对于同一集合的点，不一定要求连通，但是不同集合的点一定不连通。

这个的方案数是很好算的。

我们给它个容斥系数，设为 f(S) f ( S )

对于一个确切的图，假设它有m个连通块，显然当m=1时它才是有用的。

然后你在容斥的时候不是算了个不明不白的东西吗？
你要你乱算的东西里包含这个图，则你集合划分的时候一定是合并了这个图的一些联通块

因此被计算次数为 ∑mi=1Sm,i∗f(i) ∑ i = 1 m S m , i ∗ f ( i )

等式即 [m=1]=∑mi=1Sm,i∗f(i) [ m = 1 ] = ∑ i = 1 m S m , i ∗ f ( i )

斯特林反演：

若有 f(n)=∑ni=1Sn,i∗g(i) f ( n ) = ∑ i = 1 n S n , i ∗ g ( i )

则 g(n)=∑ni=1(−1)n−i∗sn,i∗f[i] g ( n ) = ∑ i = 1 n ( − 1 ) n − i ∗ s n , i ∗ f [ i ]

可以通过结合第一类、第二类斯特林数和下降幂有关的那一部分得到以上的证明。

返回原题：

f(n)=∑ni=1(−1)n−i∗sn,i∗[i=1] f ( n ) = ∑ i = 1 n ( − 1 ) n − i ∗ s n , i ∗ [ i = 1 ]
=(−1)n−1∗(n−1)! = ( − 1 ) n − 1 ∗ ( n − 1 ) !

很多是否集合划分的容斥系数都是这个，因为 g(m) g ( m ) 一般都是 [m=1] [ m = 1 ]