关于一些函数求前缀和的问题

1.设 f(n) f ( n ) 为n的因子的和，求：

∑i=1nf(i) ∑ i = 1 n f ( i )

其中 n<1012 n < 10 12

做法其实也是常见的套路：

ans=∑in∑jn[j|i]∗j=∑jnj∑in[j|i]=∑j=1nj⌊nj⌋ a n s = ∑ i n ∑ j n [ j | i ] ∗ j = ∑ j n j ∑ i n [ j | i ] = ∑ j = 1 n j ⌊ n j ⌋

这个就很显然了，分块求就行了，复杂度 O(n−−√) O ( n )

2.有欧拉函数 ϕ(x) ϕ ( x ) ,求：

∑i=1nϕ(i) ∑ i = 1 n ϕ ( i )

其中 n<1011 n < 10 11
这个之前讲过了，杜教筛套路一波。复杂度 O(n23) O ( n 2 3 )

3.有莫比乌斯函数 μ(x) μ ( x ) ,求：

∑i=1nμ(i) ∑ i = 1 n μ ( i )

其中 n<1011 n < 10 11
同样杜教筛套路一波。复杂度 O(n23) O ( n 2 3 )

4.设:

f(n)=∑i=1nigcd(n,i)F(n)=∑i=1nf(i) f ( n ) = ∑ i = 1 n i g c d ( n , i ) F ( n ) = ∑ i = 1 n f ( i )

求： F(n)%(109+7),n<109 F ( n ) % ( 10 9 + 7 ) , n < 10 9

则：

f(n)=∑i=1n∑d|n[gcd(i,n)==d]∗id=∑d|nn∑d|in[gcd(i,n)==d]∗id=∑d|nn∑d|ind[gcd(id,nd)==1]∗id=∑d|nn∑knd[gcd(k,nd)==1]∗k f ( n ) = ∑ i = 1 n ∑ d | n [ g c d ( i , n ) == d ] ∗ i d = ∑ d | n n ∑ d | i n [ g c d ( i , n ) == d ] ∗ i d = ∑ d | n n ∑ d | i n d [ g c d ( i d , n d ) == 1 ] ∗ i d = ∑ d | n n ∑ k n d [ g c d ( k , n d ) == 1 ] ∗ k

可以发现 里面的和式其实就是欧拉函数 ϕ(x) ϕ ( x ) 里所有与x互质的数的和设为 h(x) h ( x ) 。
则：

f(n)=∑d|nh(nd)=∑d|nh(d)=12(1+∑d|ndϕ(d)) f ( n ) = ∑ d | n h ( n d ) = ∑ d | n h ( d ) = 1 2 ( 1 + ∑ d | n d ϕ ( d ) )

所以:

F(n)=∑i=1n12(1+∑d|idϕ(d))=n2+12∑i=1n∑d|idϕ(d) F ( n ) = ∑ i = 1 n 1 2 ( 1 + ∑ d | i d ϕ ( d ) ) = n 2 + 1 2 ∑ i = 1 n ∑ d | i d ϕ ( d )

设：

g(n)=∑i=1n∑d|idϕ(d) g ( n ) = ∑ i = 1 n ∑ d | i d ϕ ( d )

实际上就是求 g(n) g ( n ) ,则：

g(n)=∑i=1n∑d|idϕ(d)=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋dϕ(d) g ( n ) = ∑ i = 1 n ∑ d | i d ϕ ( d ) = ∑ i = 1 n ∑ d = 1 ⌊ n i ⌋ d ϕ ( d )

发现不是很好搞阿。。。
设 ϕ′(n)=nϕ(n) ϕ ′ ( n ) = n ϕ ( n ) ,容易验证 ϕ′(n) ϕ ′ ( n ) 是积性函数。
里面有类似的狄利克雷卷积的结构，能不能找另一个积性函数和他卷一卷？(未完待续