noip2015 子串（心得体会）

今天终于又在联赛提高组中遇到动态规划（Dynamic program）了，~~(><) ~~ ，在各种算法中，稍微掌握得好一点的一块。O(∩∩)O~。侥幸在四人组中拿到头魁，（李兄的强项在AVL树， 红黑树 ，线段树，伸展树， 跳跃表，单调队列，最近公共祖先，倍增，后缀自动机，ac自动机等等高端的应用上，简单动态规划有些薄弱，【但是树形dp，状压dp又超级强，看不懂他】今天勉强打败他，在此分享李兄的博客地址http://blog.csdn.net/lycheng1215）
拿到动态规划，第一步，分解问题。注意单纯的递归往往会导致子问题被重复计算，用动态规划的方法，子问题的解一旦求出就要被保存，所以每个子问题只需求解一次。子问题经常和原问题形式相似，有时甚至完全一样，只不过规模从原来的n 变成了n-1，或从原来的n×m 变成了n×(m-1) ……等等。这道题就是依次找到在子串A的n-1位置，有多少种方案可以使得这个找出的新串与字符串 B 相等。对B的话，也有子问题，那就是到B得j-1位置的时候，在i中能提取多少出来。
找到子问题，就意味着找到了将整个问题逐渐分解的办法。 分解下去，直到最底层规模最小的的子问题可以一目了然地看出解。最小子问题就是到1位置，有多少种方案，显然长度小于B串的话，这里是0。
用动态规划解题时，将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状态”所对应的子问题的解。对于这道题的状态就是在A串的i位置及前面所有位置中，取k次，能有多少个和B串的前j部分相同的新串。称为s[i][j][k]。
定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。那么怎么用状态转移方程把这个n上的问题转移到1上呢？这个就是核心了。
想一想，s[i][j][k]可以分解成什么?
是不是如果A串的i位和B串j位对应上了，s[i][j][k]=1.不选i位置的字符的提取相同量+2.选了i位置的字符的提取相同量。1.是不是就是s[i-1][j][k]?那么2.怎么办呢？我选择的是开一个辅助的f[i][j][k],用于表示2.
问题又来了，如何给维护f[i][j][k]呢？
思考，再思考，继续分解，分析
现在i位置和j位置的相等这个条件满足了，那是不是i-1位置和j-1提出来的相等子串有好多个，这里就有好多个？就是相当于之前提出来的子串，假设是s，而现在提出来的子串是s+A[i],个数是不是相等的？
答案是：不是。
大神是这样说的：如果 A[i-1] = B[j-1]A[i−1]=B[j−1]，那么串 AA 的 i - 1i−1 位置就可以跟 i - 2i−2 位置合成一组（如果可能的话），这时组数不变；也可以不跟 i - 2i−2 位置合成一组，自成一组，这时组数＋1。
oh，no。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 505, maxm = 55, mod = 1000000007;
int m, n, k;
char s1[maxn], s2[maxm];
int f[maxn][maxm][maxm], s[maxn][maxm][maxm];
void dp() {
    s[0][0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        s[i][0][0] = 1; 
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
            if(s1[i-1] == s2[j-1]) {
                for(int t = 1; t <= min(k, j); ++t) {
                    f[i][j][t]=(s[i-1][j-1][t-1] + f[i-1][j-1][t]) % mod,
                    s[i][j][t]=(s[i-1][j][t] + f[i][j][t]) % mod;
                }
            }else for (int t=1;t<=min(k, j); ++t) s[i][j][t] = s[i-1][j][t]; 
    }
    printf("%d\n", s[n][m][k]);
}
int main() {
    freopen("substring.in","r",stdin);
    freopen("substring.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%s%s", &n, &m, &k, s1, s2);
    dp();
    return 0;
}

然后，只能过7个点啦，范围不够。
这里要学学新的算法。
滚动数组。
滚动数组的作用在于优化空间，主要应用在递推或动态规划中（如01背包问题）。因为DP题目是一个自底向上的扩展过程，我们常常需要用到的是连续的解，前面的解往往可以舍去。所以用滚动数组优化是很有效的。利用滚动数组的话在N很大的情况下可以达到压缩存储的作用。
原理很简单，李兄说浅显易懂，连我都只用了20minute就理解了，大家自己搜一搜