线性代数 矩阵乘法

矩阵乘法(matrix multiplication)
Am∗nBn∗p=Cm∗p A m ∗ n B n ∗ p = C m ∗ p

[a11a21a12a22] [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [b11b21b12b22] [ b 11 b 12 b 21 b 22 ]

第一种理解
点积的形式
C22=A2∗B2=a21b12+a22b22...=∑nk=1a2kbk2 C 22 = A 2 ∗ B 2 = a 21 b 12 + a 22 b 22 . . . = ∑ k = 1 n a 2 k b k 2

第二种理解
列向量的线性组合(右乘)
C中的各列是A乘以B中各个向量,也就是等价于A中列的线性组合(这个组合对应C中的某一列).B中的数字相当于告诉我,这是怎样的线性组合.

第三种理解
行向量的线性组合(左乘)
A中某一行(i行)乘以B中的所有行就得到了C中的某一行(i行)

C中的各行是B中各行的线性组合

第四种理解
列*行

⎡⎣⎢234⎤⎦⎥ [ 2 3 4 ] [16] [ 1 6 ] = ⎡⎣⎢234121824⎤⎦⎥ [ 2 12 3 18 4 24 ]
C中的各列是A中各列的B倍数,C中各行是B中各行的A倍数

⎡⎣⎢234789⎤⎦⎥ [ 2 7 3 8 4 9 ] [1060] [ 1 6 0 0 ] = ⎡⎣⎢234⎤⎦⎥ [ 2 3 4 ] [16] [ 1 6 ] + ⎡⎣⎢789⎤⎦⎥ [ 7 8 9 ] [00] [ 0 0 ]

第五种理解
分块乘法遵循矩阵乘法的规律

逆(inverses)
逆是指方阵(square matrices)
A−1A=I A − 1 A = I 这个和 AA−1=I A A − 1 = I 是等价的,也就是说如果一个矩阵有逆矩阵,那么它左乘和右乘都是一样的

可逆的(invertible),非奇异的(nonsingular)
[1237] [ 1 3 2 7 ] [abcd] [ a c b d ] = [1001] [ 1 0 0 1 ]

按列向量来理解,就是解两个二元方程组.
[1237] [ 1 3 2 7 ] [ab] [ a b ] = [10] [ 1 0 ]

[1237] [ 1 3 2 7 ] [cd] [ c d ] = [01] [ 0 1 ]

高斯乔丹(gauss-Jordan)可以同时处理两个方程组

[12371001] [ 1 3 1 0 2 7 0 1 ] = [10017−2−31] [ 1 0 7 − 3 0 1 − 2 1 ]
也就是说
[AI]=[IA−1] [ A I ] = [ I A − 1 ]

它的原理是分块矩阵
E[AI]=[IA−1] E [ A I ] = [ I A − 1 ]

不可逆(non-invertible),奇异的(singular)矩阵其列能通过线性组合得到0向量

参考文献:
http://open.163.com/movie/2010/11/H/O/M6V0BQC4M_M6V29FCHO.html