传送门
题意:求 AB 的约数和,对9901取模。
做这道题的时候受到线性筛约数和的启发
线性筛的方法是,令f(i)表示i的约数和,p为质数,那么f(i*p)=f(i)*p+f(?),其中?表示i除去所有质因子p剩下的数
那么对A分解质因数并且记录质因子次数,那么 AB 的质因子次数应该在原先的基础上扩大B倍
令f(i)表示将i~n所有质因子(包括次数)表示的数的约数和,那么实际上使x=x*prime(i)+f(i+1)做cnt遍就求出了f(i)
做cnt遍的过程用矩乘优化,这样复杂度就是 O(30∗30∗9)
#include
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using namespace std;
#define N 30
#define Mod 9901
int a,b;
int prime[N],cnt[N],f[N];
struct data{int a[5][5];}unit,st,mi;
void calc(int x)
{
for (int i=2;x>1&&i*i<=x;++i)
if (x%i==0)
{
prime[++prime[0]]=i%Mod;
while (x%i==0)
{
++cnt[prime[0]];
x/=i;
}
cnt[prime[0]]*=b;
}
if (x>1) prime[++prime[0]]=x%Mod,cnt[prime[0]]=b;
}
data cheng(data a,data b)
{
data ans;memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
for (int i=1;i<=3;++i)
for (int j=1;j<=3;++j)
{
for (int k=1;k<=3;++k)
ans.a[i][j]=ans.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j];
ans.a[i][j]%=Mod;
}
return ans;
}
data fast_pow(data a,int p)
{
data ans=unit;
for (;p;p>>=1,a=cheng(a,a))
if (p&1)
ans=cheng(ans,a);
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&a,&b);
if (b==0)
{
puts("1");
return 0;
}
calc(a);
f[prime[0]+1]=1;
for (int i=1;i<=3;++i) unit.a[i][i]=1;
for (int i=prime[0];i>=1;--i)
{
int f1=(f[i+1]*prime[i]+f[i+1])%Mod,f2=(f1*prime[i]+f[i+1])%Mod;
if (cnt[i]==1)
{
f[i]=f1;
continue;
}
memset(st.a,0,sizeof(st.a));
st.a[1][1]=f2,st.a[1][2]=f1,st.a[1][3]=1;
memset(mi.a,0,sizeof(mi.a));
mi.a[1][1]=prime[i],mi.a[3][1]=f[i+1],mi.a[1][2]=1,mi.a[3][3]=1;
mi=fast_pow(mi,cnt[i]-2);
st=cheng(st,mi);
f[i]=st.a[1][1];
}
printf("%d\n",f[1]);
}