动态dp学习小记

据说这东西猫锟在WC2018讲过，怎么一点印象都没有呢？当时应该是在冬眠

NOIP2018T6如果用动态dp去看就是一道裸题，不过因为询问是相互独立的，即修改没有时效性，可以直接用倍增代替动态dp。

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先看一道题：

P4719 【模板】动态dp

如果没有修改，这题就是树形dp入门题：没有上司的晚会

设$f(x,0/1)$分别表示以x为根的子树中，选x的最大独立集，不选x的最大独立集。

则：
$f(x,0)={\sum }_{y\in son(x)}max(f(y,0),f(y,1))$
$f(x,1)=v[x]+{\sum }_{y\in son(x)}f(y,0)$

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现在我们要修改一个点x的权值v，这个修改显然只会影响到x到root路径上所有点的f，问题在于如何做到快速修改。

既然是修改一条路径，我们可以想想树链剖分。

设$g(x,0/1)$,意义是x为根的子树中，把重儿子的子树删掉的x选(1)/不选(0)的最大独立集。

对于一条x到root路径的修改，$g$受到影响的显然只有x和每条重链顶的父亲。

由于重链只有log条，所以这里暴力修改即可。

那么问题在于如何快速进行重链上的dp转移，先写一下转移：
$f(i,0)=g(i,0)+max(f(i+1,0),f(i+1,1))$
$f(i,1)=g(i,1)+f(i+1,0)$
为了方便，i和i+1就代表重链上相邻的两个点。

接下来要引入猫锟的奇技淫巧：
我们知道矩阵乘法，现在我们定义一种新的矩阵乘法
若$C=A\ast B$
则$C(i,j)=max(A(i,k)+B(k,j))(1<=k<=n)$

容易证明该矩阵乘法也满足右结合律。

把dp转为矩阵乘法：
$[f(i,0),f(i,1)]=[g(i,0),g(i,1)]\ast \left[\begin{array}{cc}f(i+1,0),& f(i+1,0)\\ f(i+1,1),& -\infty \end{array}\right]$

那么每个点的矩阵转为：
$\left[\begin{array}{cc}g(x,0),& g(x,0)\\ g(x,1)+v[x],& -\infty \end{array}\right]$

用线段树维护区间矩阵乘积就可以快速得到一个点的$f$了。

时间复杂度$O(nlo{g}^{2}n)$。

Code:

#include
#include
#define ll long long
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
#define FB for(int i = fi[x], y = to[i]; i; y = to[i = nt[i]])
#define i0 i << 1
#define i1 i << 1 | 1
#define pp printf
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int n, m, v[N];
int x, y, fi[N], to[N * 2], nt[N * 2], tot;

void link(int x, int y) { nt[++ tot] = fi[x], to[tot] = y, fi[x] = tot;}

int dep[N], fa[N], siz[N], son[N], top[N];

void dg(int x) {
    siz[x] = 1; dep[x] = dep[fa[x]] + 1;
    FB if(y != fa[x])
        fa[y] = x, dg(y), siz[x] += siz[y],
        son[x] = siz[son[x]] > son[y] ? son[x] : y;
}

int w[N], tw[N], cntw;

void dfs(int x) {
    w[x] = tw[x] = ++ cntw;
    if(son[x]) top[son[x]] = top[x], dfs(son[x]), tw[x] = tw[son[x]];
    FB if(y != fa[x] && y != son[x])
        top[y] = y, dfs(y);
}

const int inf = 2147483647;

struct jz {
    ll a[2][2];
    jz() { memset(a, 0, sizeof a);}
};

jz operator *(jz a, jz b) {
    jz c;
    c.a[0][0] = max(a.a[0][0] + b.a[0][0], a.a[0][1] + b.a[1][0]);
    c.a[0][1] = max(a.a[0][0] + b.a[0][1], a.a[0][1] + b.a[1][1]);
    c.a[1][0] = max(a.a[1][0] + b.a[0][0], a.a[1][1] + b.a[1][0]);
    c.a[1][1] = max(a.a[1][0] + b.a[0][1], a.a[1][1] + b.a[1][1]);
    return c;
}

int pl, pr, px; jz pj;

jz t[N * 4], f[N];

void add(int i, int x, int y) {
    if(y < pl || x > pr) return;
    if(x == y) { t[i] = f[x]; return;}
    int m = x + y >> 1; add(i0, x, m); add(i1, m + 1, y);
    t[i] = t[i0] * t[i1];
}

void ft(int i, int x, int y) {
    if(y < pl || x > pr) return;
    if(x >= pl && y <= pr) { pj = pj * t[i]; return;}
    int m = x + y >> 1; ft(i0, x, m); ft(i1, m + 1, y);
}

jz ask(int x) {
    pj.a[0][0] = pj.a[1][1] = 0;
    pj.a[0][1] = pj.a[1][0] = -inf;
    pl = w[x], pr = tw[x]; ft(1, 1, n); return pj;
}

void xiu(int x, int lv, int nv) {
    f[w[x]].a[1][0] += nv - lv;
    jz la, nw;
    while(x) {
        la = ask(top[x]);
        pl = pr = w[x]; add(1, 1, n);
        nw = ask(top[x]);
        x = fa[top[x]];
        f[w[x]].a[0][0] += max(nw.a[0][0], nw.a[1][0]) - max(la.a[0][0], la.a[1][0]);
        f[w[x]].a[0][1] = f[w[x]].a[0][0];
        f[w[x]].a[1][0] += nw.a[0][0] - la.a[0][0];
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    fo(i, 1, n) scanf("%d", &v[i]);
    fo(i, 1, n - 1)	{
        scanf("%d %d", &x, &y);
        link(x, y); link(y, x);
    }
    dg(1); top[1] = 1; dfs(1);
    fo(i, 1, n) f[i].a[1][1] = -inf;
    fo(i, 1, n) xiu(i, 0, v[i]);
    fo(ii, 1, m) {
        scanf("%d %d", &x, &y);
        xiu(x, v[x], y); v[x] = y;
        pj = ask(1);
        printf("%lld\n", max(pj.a[0][0], pj.a[1][0]));
    }
}