动态规划之合唱队形问题

问题描述：

  N位同学站成一排，音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列，而不改变其他同学的位置，使得剩下的K位同学排成合唱队形。合唱队形要求：设K位同学从左到右依次编号为1，2…，K，他们的身高分别为T1，T2，…，TK，则他们的身高满足T1Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成最长的合唱队形。 

问题分析：

  假设第i位同学为个子最高的同学，我们先对其左边的同学求最大上升子序列，再对其右边的同学求最大下降子序列，然后两者相加再减1（第i位同学被重复计算了一次），便得到第i位同学为最高个时所能排成的最长合唱队形。如果我们对这N位同学都执行此操作，便可得到每位同学为最高个时所能排成的最长合唱队形，选取其中最长的合唱队形作为最终的结果。  

 从上述的分析可以看出，我们可以将问题分成互相不独立的子问题，只要得到子问题的最优解，便可得到整个问题的最优解。我们可以用一张表来记录所有已解决问题的答案，从而避免了重复计算。这里的一个关键问题便是：如何得到第i位同学的最大上升子序列和最大下降子序列。假如这N位同学的身高分别为：176，163，150，180，170，130，167，160，我们用up[i]来记录第i位同学的最大上升子序列。如果要得到180同学为最高个时的最大上升子序列即up[4],我们只需求出前3位同学所能形成的最大上升子序列，将其加1即可；要得到前3位同学所形成的最大上升子序列，便要求得前2位同学的最大上升子序列，再加上1即可；同样要得到前2位同学的最大上升子序列，便要求得第1位同学的最大上升子序列。因此这是一个递推关系，只要我们将前i个同学为最高个时做形成的最大上升子序列的值记录下来，取其中最大值加1便可得到第i位同学的最大上升子序列即up[i]。同理我们用down[i]来记录第i位同学的最大下降子序列，只要我们将后（N-i）位同学每位同学为最高个时的最大下降子序列记录下来，取其中最大者再加1便可得到第i位同学为最高个时的最大下降子序列即down[i]。那么，第i位同学为最高个时做能形成的最长合唱队形的长度为up[i]+down[i]-1。求得所有同学为最高个时所能形成的最长合唱队形的长度，取其中最大值为最终的结果。

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int []high={176,163,150,180,170,130,167,160};
        int []up=new int[8];   //记录每位同学的最大上升子序列
        int []down=new int[8]; //记录每位同学的最大下降子序列
        for(int i=0;i=0;i--){
            down[i]=1;
            for(int j=high.length-1;j>i;j--){
                if((high[j]max) {
                max=up[i]+down[i]-1; //求得每位同学所形成的最长合唱队形的最大值
                index=i;  //求得对应的索引
            }
        }
        System.out.println("最长合唱队形的长度为："+max);
        System.out.println("对应的是第"+(index+1)+"位同学，需要"+(high.length-max)+"位同学出列");

    }
}