求逆元的几种办法

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补了一道CF题，顺便看到有人求逆元的方法叼叼的，怪不得人家过题这么快啊……
来总结一发……

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一般求法

求a关于N的逆元，即要解同余方程 ax≡1(modN) 的解x.
ax≡1(modN)⇔ax+Ny=1
仅当a与N互质时，存在 a 的逆元，利用扩展欧几里得求解。
这里N不一定是素数

LL extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if(b == 0){
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    LL r = extend_Euclid(b, a%b, y, x);
    y -= a/b*x;
    return r;
}

x = (x % N + N) % N

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费马小定理求逆元

当N是素数，有 ap−1≡1(modp) ，则 a−1=ap−2%p
当p比较大时，需要快速幂求解。非递归的写法是坠好的。

#define LL long long
LL poo(LL a, int k, int m){
    LL res = 1;
    while(k){
        if(k & 1LL)
            res = res * a % m;
        k >>= 1;
        a = a*a%m;
    }
    return res;
}

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特殊情况

当N是质数， a是(N+1)的约数时，a−1=N+1a
这点也很好理解。当N是质数，0 < a < N时， (a,N)=1 ，则a肯定存在逆元。
而解出的 N+1a 就满足 N+1a⋅a≡1(modN) ，故它是a的逆元。

在CF 696C， N=1000000007时

2−1=1000000007+12=500000004

3−1=1000000007+13=333333336

求解就灰常方便了…

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逆元打表

如果是求好多数的逆元，还是打个表比较方便，只要O(N)。
当N是大素数，求小于N的数的逆元。
设这个数是 i，令P=it+k，其中t=i/N, k=i%N
则 it≡−k(modP) 且 i2t2≡k2(modP)
令 i的逆元是i−1 ，有两种方法求 i−1 :

1. i−1≡−t⋅k−1≡(P−t)k−1%P
2. i−1≡it2(k−1)2%P

都是通过先求 k−1 来求 i−1 ，两者结果都是一样的，别忘模P即可。注意：计算过程中可能会爆long long。

int rev[N];
void get_rev(){
    rev[1] = 1;
    for(int n = 2;n < N;n++){
        int k = P % n, t = P / n;
        rev[n] = 1LL*(P-t)*rev[k]%P;
    }
}

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暂时只用到了这几种求逆元办法，若还有新的继续更…