高等数学--极限与导数（二）

了解极限的定义，极限运算法则：

1. 两个无穷小的和是无穷小
2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
3. lim[f(x)+g(x)-h(x)]=limf(x)+limg(x)-limh(x)
4. lim[f(x)*g(x)*h(x)]=limf(x)*limg(x)*limh(x)

利用matlab求极限的一般写法是limit(y,x,a)，a表示x→a趋近于

syms x
y=(x^2+5)/(x-3);
 limit(y,x,2)

ans=-9

y=(x^3+2*x^2)/(x-2)^2;
 limit(y,x,2)

ans=inf

函数的连续性：

设函数f(x)在点x0的某一领域内有定义，如果lim f(x) = f(x0) x →x0，那么就称函数f(x)在点x0连续。

定理1：设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则它们的和（差），积商都在点x0连续。

为了解决时刻变化的量问题，根据极限的概念，研究了导数。、
无论是非匀速直线运动，还是切线的斜率都归结为如下极限：
lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x→x0

当x在x0处取得增量Δx，那么必然会产生增量Δy=f(x0+Δx) - f(x0); 如果Δy/Δx 之比 当Δx→0时的极限存在，那么称函数f(x)在点x0处可导。

说白了就是看lim Δy/Δx 存不存在。

记作dy/dx，各种不同意义的变量有一个变化“快慢”的问题，也就是函数的变化率问题，导数概念就是函数变化率的精确描述。

因为极限有左极限，右极限，所以导数也有左导数，右导数。函数f(x)在点x0处可导，必然要求左导数f(x0)及右导数f(x0)都存在且相等。

导数的几何意义是在点x0处切线的斜率，即dy/dx= tanα，α是切线的倾角。

根据导数的几何意义，可知切线方程为：
y-y0=f’(x0)*(x-x0)

过切点M（x0，y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线。如果f’(x0) ！= 0，那么法线方程为：

y-y0=- 1/（f’(x0)） * (x-x0)

例8 求等边双曲线y=1/x在点（0.5，2）处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。

解：
一种方法是求双曲线y=1/x在点0.5处的极限，求斜率就是求导数，也即求lim Δy/Δx极限问题。
展开为 lim （f(x0+Δx) - f（x0））/ Δx，Δx→0
带入点（0.5，2）

syms x
 limit((1/(0.5+x)-2)/x,x,0)

导数是-4，那么切线方程就是：
y-2=-4*(x-0.5)

法线方程就是：
y-2=1/4 *(x-0.5)

另一种方法就是直接求导数

 diff(1/x,x)

代入（0.5，2）结果相同。

顺便复习一下，线性和非线性。
简单的说，线性就是指表达式只有1次方，而非线性就是表达式非1次方。
对于线性函数，其导数为常数。很好理解，直线上的任意一点，与x轴的切线斜率必然是个固定值。
对于非线性函数，其导数不为常数。很好理解，曲线上不同位置的点，与x轴的切线斜率是变化值。

再复习一下，单项式和多项式。
单项式只有乘除，没有加减，单项式形如3x，1/x ， x^2，单项式可以是线性的，也可以是非线性的。
多项式不光有乘除，还有加减，多项式形如3x+8, 1/x -3x^2，多项式可以是线性的，也可以是非线性的。

函数的可导性与连续性

如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数在该点必然连续，但一个函数在某点连续，它不一定在该点可导。

例10 y=x^（1/3） ，在区间（-∞，+∞）连续，但在x=0处不可导

当x=0时，导数无穷大，即导数不存在。
画图：

y=x^（1/3）为什么没有负数部分？
调整坐标轴

更奇怪了，网上查询，发现matlab或者mathematica对于这种情况都默认都不显示负数部分，当作虚数处理。
但是如何用matlab自身画出负数部分？查询无果。
只查询到能用mupad解决， 在mupad中使用surd(x,3)函数。

另外fplot和plot，ezplot几个函数有什么区别？
功能上一样，区别在于默认x轴取值，fplot默认是[-5,5],它比较适合画数值图像；ezplot默认是[-2π，2π]，比较适合画三角函数类图像；plot没有默认，需要自己提前设定。