传递函数的第二种表达

传递函数的其他表达形式

1 SISO线性定常系统表达式:

a0dmdtmxc(t)+a1dm−1dtm−1xc(t)+...+am−1ddtxc(t)+amxc(t)=b0dndtnxr(t)+b1dn−1dtn−1xr(t)+...+bn−1ddtxr(t)+bnxr(t)

写成这样好看一点:

a0x(m)c+a1x(m−1)c+...+am−1x˙c+amxc=b0x(n)r+b1x(n−1)r+...+bn−1x˙r+bnxr

注: x(m)c 表示 m 阶关于时间的微分.

两边同取拉氏变换可得:

(a0sm+a1sm−1...+am−1s+am)Xc=(b0sn+b1sn−1...+bn−1s+bn)Xr

即SISO线性定常系统的传递函数为:

Xc(s)=Xr(s)G(s)

即:

G(s)=Xc(s)Xr(s)=b0sn+b1sn−1...+bn−1s+bna0sm+a1sm−1...+am−1s+am

2 写成时间常数表达方式:

分子提出 bm , 分母提出 an (提出常数项)得:

G(s)=bm(b0bmsn+b1bmsm−1...+bm−1bms+1)an(a0ansn+a1ansn−1...+an−1ans+1)=K∏mi=1(Ti+1)∏nj=1(Tj+1)

• 时间常数: 时域分析法中使用, 典型环节.
  
  K=bman
• 物理意义: Ti , Tj 时间常数

3 写成零极点增益形式

分子提出 b0 , 分母提出 a0 (提出最高次项系数)得:

G(s)=b0(sn+b1b0sm−1...+bm−1b0s+bmb0)a0(sn+a1a0sn−1...+an−1a0s+ana0)=K∗∏mi=1(s+zi)∏nj=1(s+pj)

• 根轨迹放大系数: 根轨迹法中使用
  
  K∗=b0a0
• −zi 为分子多项式的根,称为系统零点.
• −pj 为分母多项式的根, 称为系统极点.

4 系统特征多项式

传递函数的分母, 成为系统的特征多项式.

D(s)=a0sn+a1sn−1+...+an−1s+an

• s 的最高阶 n ,为系统的阶次.
• D(s)=0 称为系统的特征方程, 特征方程的根为系统的特征根或极点.