【NPC问题】证明EXACT 4SAT问题是NPC问题

【问题描述】

8.8 在EXACT 4SAT问题中,输入为一组字句,每个子句都是恰好4个文字的析取,且每个变量最多在子句中出现一次。目标是求他的满足赋值,如果该赋值存在,证明精确的4SAT问题是NP完全问题。

【证明】

如果想要证明 EXACT 4SAT问题是NPC问题,只需把目前已知的NPC问题归约到EXACT 4SAT问题。3SAT问题是和4SAT问题形式最接近的已知NPC问题。因此,我们证明3SAT问题可以归约到EXACT 4SAT问题。

3SAT问题的基本形式如下: 
3SAT 
我们只需添加哑变量,便能讲3SAT问题扩展成一个EXACT 4SAT 问题,如下图  
EXACT4SAT 
加入哑元变量使得3SAT的公式变成EXACT 4SAT的方法显然是多项式时间的。 同时,哑变量不影响整个语句的结果,因此两个式子是等价的。 

综上,3SAT能归约到EXACT 4SAT问题,所以EXACT 4SAT问题是NPC问题。

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