动机
在计算机视觉领域，经常需要检测极值位置，比如SIFT关键点检测、模板匹配获得最大响应位置、统计直方图峰值位置、边缘检测等等，有时只需要像素精度就可以，有时则需要亚像素精度。本文尝试总结几种常用的一维离散数据极值检测方法，几个算法主要来自论文《A Comparison of Algorithms for Subpixel Peak Detection》，加上自己的理解和推导。
问题定义
给定如下离散值，求其极值位置。可知125为观察极值。
\[[60, 80, 100, 120, 125, 105, 70, 55]\]
如果这些离散值是从某个分布\(f\)中等间距采样获得，其真正的极值位置应位于120和125之间。
下面给出形式化的定义：给定一组离散值，令\(x\)为观测到的极值点位置，其值为\(f(x)\)，其左右相邻位置的值为\(f(x-1)\)和\(f(x+1)\)，真正的极值点位置为\(x+\delta\)，令\(\hat{\delta}\)为\(\delta\)的估计值。
算法
假设\(x\)的邻域可通过某个模型进行近似，如高斯近似、抛物线近似，则可以利用\(x\)的邻域信息根据模型估计出极值。使用的模型不同就有不同的算法，具体如下。
高斯近似
一维高斯函数如下：
\[y = y_{max} \cdot exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})\]
当\(y_{max}=\frac{1}{\sqrt{2\sigma}\pi}\)时为标准高斯函数，形如
假设\(x\)的邻域可用高斯近似，用\((x, f(x))\)、\((x-1, f(x-1))\)、\((x+1, f(x+1))\)三点对高斯函数进行拟合，获得模型参数\(\mu\)即为峰值位置，\(\hat{\delta}=\mu - x\)。将三点带入上面的高斯函数两边同时取对数求得：
\[\hat{\delta} = \frac{1}{2} \frac{\ln(f(x-1)) - \ln(f(x+1))}{\ln(f(x-1)) - 2\ln(f(x)) + \ln(f(x+1))}\]
下面可以看到，高斯近似相当于取对数后的抛物线近似。
抛物线近似
使用抛物线近似\(x\)的局部，可以将\((x, f(x))\)、\((x-1, f(x-1))\)、\((x+1, f(x+1))\)三点带入\(y=a(x-b)^2+c\)求参数\(b\)即为估计的极值位置，也可采用泰勒展开（牛顿法）来求极值。泰勒公式实际上是一种利用高阶导数通过多项式近似函数的方法，下面的图示可直观理解这种近似，图示为通过泰勒公式近似原点附近的正弦曲线：
泰勒近似\(x\)附近，如只取到二阶则为抛物线近似。假设高阶可导，极值为\(f(x+\delta)\)，则根据泰勒公式，
\[f(x+\delta) = f(x) + f'(x)\delta + \frac{1}{2} f''(x)\delta^2 + O(\delta^3)\]
极值处导数为0，这里\(x\)为常数\(\delta\)为变量，两边同时对\(\delta\)求导，忽略高阶项可得
\[f'(x+\hat{\delta}) = f'(x) + f''(x)\hat{\delta} = 0\]
使用一阶微分和二阶微分近似\(f'(x)\)和\(f''(x)\)得
\[\hat{\delta} = - \frac{f'(x)}{f''(x)} = - \frac{(f(x+1)-f(x-1))/2}{(f(x+1)-f(x))-(f(x) - f(x-1))}= \frac{1}{2}\frac{f(x-1)-f(x+1)}{f(x+1)-2f(x)+ f(x-1)}\]
与带入抛物线求参数的结果是一致的，加上对数则与高斯近似一致。
质心算法
In physics, the center of mass of a distribution of mass in space is the unique point where the weighted relative position of the distributed mass sums to zero, or the point where if a force is applied it moves in the direction of the force without rotating.——Center of mass wiki
若将\(x\)、\(x-1\)、\(x+1\)看成质点，将\(f(x)\)、\(f(x-1)\)、\(f(x+1)\)看成质点的质量，则可以把质心作为极值的估计。根据质点相对质心位置的质量加权和为零，可求得质心位置。令\(R\)为质心坐标，\(m\)和\(r\)分别为质点质量和坐标，则\(n\)个质点的质心满足
\[\sum_{i=1}^n m_i(r_i - R) = 0\]
令\(M = \sum_{i=1}^n m_i\)，质心坐标为
\[R = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_ir_i\]
带入得
\[x + \hat{\delta} = \frac{(x-1)f(x-1)+xf(x)+(x+1)f(x+1)}{f(x-1)+f(x)+f(x+1)}\]
\[\hat{\delta} = \frac{f(x+1)-f(x-1)}{f(x-1)+f(x)+f(x+1)}\]
以上考虑的是3质点系统的质心，还可考虑5质点、7质点等，甚至考虑所有点。
线性插值
这个模型假设在极值两侧是线性增长和线性下降的，且上升和下降的速度相同，即\(y=kx+b\)，上升侧\(k>0\)，下降侧\(k<0\)，两者绝对值相同，可以利用这个性质求解极值位置。
若\(f(x+1)>f(x-1)\)则极值位于\((x, x+1)\)之间，可列等式
\[\frac{f(x) - f(x-1)}{x-(x-1)} = \frac{f(x+\delta)-f(x)}{x+\delta - x} = \frac{f(x+\delta)-f(x+1)}{x+1-(x+\delta)}\]
解得
\[\hat{\delta}=\frac{1}{2}\frac{f(x+1)-f(x-1)}{f(x)-f(x-1)}\]
同理，若\(f(x-1)>f(x+1)\)求得
\[\hat{\delta}=\frac{1}{2}\frac{f(x+1)-f(x-1)}{f(x)-f(x+1)}\]
数值微分滤波
这个方法是利用极值处导数为0的性质，在微分滤波结果上插值得到导数为0的位置，因已知极值点在\(x\)附近，因此只需在\(x\)附近做微分和插值即可。插值时取极值点两侧正负值连线的过零点作为极值点的估计，如下图所示
论文Real-time numerical peak detector中定义了4阶和8阶线性滤波器\([1, 1, 0, -1, -1]\)和\([1,1,1,1,0,-1,-1,-1,-1]\)，对应的函数形式为
\[g_4(x)=f(x-2)+f(x-1)-f(x+1)-f(x+2)\]
\[g_8(x)=f(x-4)+f(x-3)+f(x-2)+f(x-1) \\ -f(x+1)-f(x+2)-f(x+3)-f(x+4)\]
2阶形式为\(g_2(x) = f(x-1) -f(x+1)\)，这些滤波器的表现与数值微分滤波器相似。
当\(f(x+1)>f(x-1)\)时，极值点位于\((x, x+1)\)之间，\(g(x)<0\)，\(g(x+1)>0\)，极值点位置为\(g(x)\)与\(g(x+1)\)连线的过零点，通过斜率求得
\[\hat{\delta} = \frac{g(x)}{g(x+1)-g(x)}\]
若\(f(x-1)>f(x+1)\)，则
\[\hat{\delta} = \frac{g(x-1)}{g(x-1)-g(x)} - 1\]
总结
这些数值极值检测方法均是先获取观测极值\(x\)及其邻域信息，然后综合邻域信息在各自的模型假设下通过插值估计出极值位置。若能知道数值来自的真实分布，则直接拟合真实分布然后求极值即可，但往往我们并不知道真实的分布是什么，即使知道真实分布，有时为了快速计算，也会采取插值的方式来估计极值，毕竟偏差可接受效果足够好就可以了。应用时，为了抗噪可对数据先平滑然后求极值，具体采用何种方法可在准确和速度间权衡——所用模型与真实分布越相近自然越准确，如果实在不知道怎么选，就实践对比吧（因为我也不知道），毕竟伟大领袖教导过我们——实践是检验真理的唯一标准！
参考
- A Comparison of Algorithms for Subpixel Peak Detection
- Real-time numerical peak detector
个人博客地址：亚像素数值极值检测算法总结