抽象代数笔记-环、域、扩域、伽罗瓦理论
【参考资料】
【1】http://www.sohu.com/a/138917230_614662
【2】《近世代数基础》
【3】《从一元一次方程到伽罗瓦理论》
【4】https://baike.baidu.com/item/伽罗瓦预解式/18918113
环
存在一个集合K，同时有加法 + + +和乘法 ⋅ \cdot ⋅，
1 ( K , + ) (K, +) (K,+)构成交换群；
2 ( K , ⋅ ) (K, \cdot) (K,⋅)构成半群；
3 如果同时考虑 ( K , + , ⋯ ) (K, +, \cdots) (K,+,⋯)，满足左右分配率；
我们称这个代数结构为环。
如果 ( K , ⋅ ) (K, \cdot) (K,⋅)满足交换律ab=ba，则称为交换环。
如果这个交换环中的 ( K , ⋅ ) (K, \cdot) (K,⋅)还满足消去率，即cb=ca => b=a，则我们称之为整环。
半群是没有幺元和逆元的群
域
对于整环 ( F , + , ⋅ ) (F,+,\cdot) (F,+,⋅)至少有两个元，且F中每一个非零元都有逆元，则称之为域。
对于非零元存在逆，本质上可以理解为域上有除法，那么域上就是一个满足了加、减、乘、除四则运算的代数结构？
扩域
扩域是指在某个数域上加上几个不属于该数域的元素，记为E/F。
比如我们在有理数域Q上加上 2 \sqrt{2} 2，那么这个属于就称为 Q ( 2 ) Q \frac{Q(\sqrt{2})}{Q} QQ(2)。对于新集合来说除了增加了 2 \sqrt{2} 2外，当然也包含 2 \sqrt{2} 2参与运算后所产生的其他数。
注意此时我们构造了一个比有理数域Q大，但比实数域R小的新数域。
定义: a叫作域F上的一个代数元，假如存在属于F的都不为零的元 a 0 , a 1 , a 2 , . . . . , a n a_0, a_1, a_2, ...., a_n a0,a1,a2,....,an，使得成立如下一个代数方程:
a 0 + a 1 a + . . . + a n a n = 0 a_0 + a_1a + ... + a_n a^n = 0 a0+a1a+...+anan=0
假如这样的 a 0 , a 1 , a 2 , . . . . , a n a_0, a_1, a_2, ...., a_n a0,a1,a2,....,an不存在，a就叫F上的一个超越元。其扩域F(a)分别称为单代数扩域和单超越数扩域。
m式扩域：在属于F中找一个数开m次方，然后加进这个数域；
根式塔：通过m式扩域从F开始不断扩域，存在 F ⊆ F 1 ⊆ F 2 . . . F n F \subseteq F_1 \subseteq F_2... F_n F⊆F1⊆F2...Fn
伽罗瓦对于根式可解的定义：如果一个方程的全部系数包含在域F中，全部根包含在E中，那么有解的情况式指E包含在F扩域形成的根式塔中。
我们称根式塔为一个域列。
正规扩域
定义:E是F的一个有限扩域，且 f ( x ) ∈ F ( x ) f(x) \in F(x) f(x)∈F(x)是任意一个不可约多项式，则E含有f(x)的一个根，就含有其他根，称为E是F的一个正规扩域。
例如: g ( x ) = x 2 − 2 x − 1 ∈ Q [ x ] g(x) = x^2 -2x-1 \in Q[x] g(x)=x2−2x−1∈Q[x]，它的一个根 1 − 2 1-\sqrt{2} 1−2属于扩域
Q ( 2 ) Q(\sqrt{2}) Q(2)，那么另外一个根 1 + 2 1+\sqrt{2} 1+2也同样属于这个扩域。
具有性质：如果E是F的一个正规扩，那么E必定是F上某个多项式的根域。
伽罗瓦群
我们定义一个数域E的自同构映射，并把所有这个E上的自同构映射记为Aut(E), 定义一个乘法，即 σ 1 ⋅ σ 2 \sigma_1 \cdot \sigma_2 σ1⋅σ2为其复合，即 σ 1 ( σ 2 ) \sigma_1(\sigma_2) σ1(σ2)，可以证明上述代数结构是一个群。
注意这里从域开始又回到群：）
伽罗瓦群:E/F是扩域，（E是根的域、F是系数的域），我们定义Aut(E)的一个子集，E上全部自同构映射的集合Aut（E）中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut（E）的一个子群，称为E在F上的伽罗瓦群，记为G（E/F）。
可解群
设G是一个有限群，如果G存在一个子群列 G = G 0 ⊳ G 1 ⊳ G 2 . . . ⊳ G r = { e } G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 ... \rhd G_r = \{e\} G=G0⊳G1⊳G2...⊳Gr={e}，其中e是G的单位元，使得每个商群 G i / G i + 1 G_i/G_{i+1} Gi/Gi+1都是可换群，则称其为G的一个可解群列。
这里 G 0 ⊳ G 1 G_0 \rhd G_1 G0⊳G1表示 G 1 G_1 G1是 G 0 G_0 G0的一个正规子群
伽罗瓦理论针对多项式根式可解
方程在特征为0的域上能用根式解当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。
PS: 这步的推导完全看不懂。。。。。
例如:
三次多项式方程的加瓦罗群G同构与 S 3 S_3 S3，又因为 G = S 3 ⊳ A 3 ⊳ { e } G=S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} G=S3⊳A3⊳{e}是一个可解群列。