DLX算法——数独问题

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回想一下精确覆盖问题，它的要求是每一列恰好有一个1，那么我们可以考虑将每一列作为一个限制条件，那么将数独的限制条件套进去即可。

考虑数独的限制条件：

1. 每一个空只能填一个数（这不是废话吗。。）
2. 每一行中不能出现重复的数字，而且只能填1~9
3. 每一列中不能出现重复的数字，而且只能填1~9
4. 每一个宫中不能出现重复的数字，而且只能填1~9

这样看好像不是很明显，我们将它转化一下：

1. （第一个依然是废话）每一个空只能填一个数
2. 每一行中必须出现1~9中的每个数字
3. 每一列中必须出现1~9中的每个数字
4. 每一个宫中必须出现1~9中的每个数字

于是，我们就可以将矩阵中每一列的限制确定下来了。

1. 前81列，第i列为1表示第i个空填了一个数
2. 后81列中，第1列表示第一行填了一个1、第2列表示第一行填了一个2、……第10列表示第二行填了一个1、……第81列表示第九行填了一个9
3. 再后面81列中，第1列表示第一列填了一个1、第2列表示第一列填了一个2、……第10列表示第二列填了一个1、……第81列表示第九列填了一个9
4. 最后81列中，第1列表示第一个宫填了一个1、第2列表示第一个宫填了一个2、……第10列表示第二个宫填了一个1、……第81列表示第九个宫填了一个9

于是我们就知道了每一列的意义，然后将每一种填法做成一行，跑一遍DLX就能得到答案了。

打个比方，比如在第4行第5列处填一个7，那么首先新建一行，然后将这一行的第32列、81+34列、81*2+43列以及81 * 3+43列改成1，其他全部都是0，即可。

代码如下：

#include 
#include 

struct wulala{int x,y,z;};
struct node{
	node *d,*u,*l,*r;
	int line,col;
	wulala x;//这个x结构体是用来标记这个位置所在的行所表示的在数独中的操作
	//x.x,x.y,x.z表示在数独中的[x.x,x.y]位置放一个x.z
	node():d(NULL),u(NULL),l(NULL),r(NULL),line(0),col(0){}
};
node *matrix[750][350];
wulala a[750];
int shudu[10][10];
int map[750][350];
int n,m=324;
bool v[350];//v数组用来记录哪些列已经有1了（这里的列是指矩阵中的）
int gong(int x,int y){return (x-1)/3*3+(y-1)/3+1;}
void input()
{
	for(int i=1;i<=9;i++)
	for(int j=1;j<=9;j++)
	{
		scanf("%d",&shudu[i][j]);
		if(shudu[i][j]!=0)
		{
			v[(i-1)*9+j]=true;//标记这些列已经有1了
			v[81+(i-1)*9+shudu[i][j]]=true;
			v[81*2+(j-1)*9+shudu[i][j]]=true;
			v[81*3+(gong(i,j)-1)*9+shudu[i][j]]=true;
		}
	}
	for(int i=1;i<=9;i++)//构建矩阵
	for(int j=1;j<=9;j++)
	if(shudu[i][j]==0)
	for(int k=1;k<=9;k++)
	if(!v[81+(i-1)*9+k]&&!v[81*2+(j-1)*9+k]&&!v[81*3+(gong(i,j)-1)*9+k])
	//如果这种方案中有某一列是被标记过的，这种方案就是不能选的
	{
		n++;
		map[n][(i-1)*9+j]=1;
		map[n][81+(i-1)*9+k]=1;
		map[n][81*2+(j-1)*9+k]=1;
		map[n][81*3+(gong(i,j)-1)*9+k]=1;
		a[n]=(wulala){i,j,k};
	}
}
//=====================================================================
//以下为DLX算法模板，如果看不懂可以去文章开头的那个超链接里面看看
node *head,*c[350];
int tot[350];
void work()
{
	node *p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		p=NULL;
		for(int j=1;j<=m;j++)
		if(map[i][j]==1)
		{
			matrix[i][j]=new node;
			matrix[i][j]->line=i;matrix[i][j]->col=j;
			matrix[i][j]->x=a[i];
			if(p==NULL)p=matrix[i][j],p->l=p->r=p;
			else
			{
				p->r->l=matrix[i][j];matrix[i][j]->r=p->r;
				p->r=matrix[i][j];matrix[i][j]->l=p;
				p=matrix[i][j];
			}
		}
		else matrix[i][j]=NULL;
	}
	p=head=new node;p->l=p->r=p;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	if(v[i])c[i]=NULL;//假如这一列已经有1了，那么就不要这一列了2
	else
	{
		c[i]=new node();tot[i]=0;
		p->r->l=c[i];c[i]->r=p->r;
		p->r=c[i];c[i]->l=p;p=c[i];
		c[i]->col=i;
	}
	for(int j=1;j<=m;j++)
	{
		if(v[j])continue;//被标记过的列就没必要遍历了，毕竟这一列半个1都不可能有
		p=c[j];p->d=p->u=p;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		if(map[i][j]==1)
		{
			tot[j]++;
			p->d->u=matrix[i][j];matrix[i][j]->d=p->d;
			p->d=matrix[i][j];matrix[i][j]->u=p;
			p=matrix[i][j];
		}
	}
}
void print()
{
	for(int i=1;i<=9;i++)
	{
		for(int j=1;j<=9;j++)
		printf("%d ",shudu[i][j]);
		printf("\n");
	}
}
bool anss;
node *zhan[750];
int tt;
inline void del1(node *x){x->l->r=x->r;x->r->l=x->l;}
inline void del2(node *x){x->d->u=x->u;x->u->d=x->d;}
inline void reset1(node *x){x->l->r=x;x->r->l=x;}
inline void reset2(node *x){x->u->d=x;x->d->u=x;}
void down(node *x)
{
	for(node *i=x->d;i!=x;i=i->d)
	{
		if(i->line==0)continue;
		zhan[++tt]=i;
		del2(i),tot[i->col]--;
		for(node *j=i->r;j!=i;j=j->r)
		del2(j),tot[j->col]--;
	}
}
void dfs()
{
	if(head->r==head)
	{
		anss=true;
		print();
		return;
	}
	node *p=head->r;
	for(node *i=p->r;i!=head;i=i->r)
	if(tot[i->col]<tot[p->col])p=i;
	for(node *i=p->d;i!=p;i=i->d)
	{
		int st=tt;
		down(i);del1(c[i->col]);
		for(node *j=i->r;j!=i;j=j->r)
		down(j),del1(c[j->col]);
		zhan[++tt]=i;
		del2(i),tot[i->col]--;
		for(node *j=i->r;j!=i;j=j->r)
		del2(j),tot[j->col]--;
		shudu[i->x.x][i->x.y]=i->x.z;//记得标记一下这一次的选择
		dfs();
		if(anss)return;
		for(node *j=zhan[tt]->l;j!=zhan[tt];j=j->l)
		reset1(c[j->col]);
		reset1(c[zhan[tt]->col]);
		while(tt>st)
		{
			reset2(zhan[tt]),tot[zhan[tt]->col]++;
			for(node *j=zhan[tt]->r;j!=zhan[tt];j=j->r)
			reset2(j),tot[j->col]++;
			tt--;
		}
	}
}

int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		n=0;
		memset(v,false,sizeof(v));
		memset(map,0,sizeof(map));
		input();
		work();
		anss=false;tt=0;
		dfs();
	}
}