HDUoj6624 fraction（辗转相除法）

HDUoj6624 fraction（辗转相除法）

题目大意

给出一个p和x要求求出最小的b满足
$$a\equiv bx(modp)$$

解题思路

先对原式进行一些转化
$$\begin{array}{rl}a& \equiv bx(modp)\\ a& =bx-pc(c\in Z)\\ \because & 0\le a<b\\ \to & 0\le bx-pc<b\\ \to & \frac{p}{x}\le \frac{b}{c}<\frac{p}{x-1}\end{array}$$
原问题就转化成了一个经典问题，求满足值在所给的两分数之间时，最小的分子分母是多少。

设$\lceil \frac{p}{x}\rceil =d$，当$\lfloor \frac{p}{x-1}\rfloor \ge d$时，显然有b=d，c=1为最优解，但是当不满足这个条件时，首先可以发现$\frac{p}{x}$与$\frac{p}{x-1}$之间的差值必然小于1，由此
$$\begin{array}{r}\frac{p}{x}-(d-1)\le \frac{b}{c}-(d-1)<\frac{p}{x-1}-(d-1)\end{array}$$
此时可以发现不等式外侧的两个值都变成了真分数，只要对其作倒数就又变成了假分数则又可以进行上述操作，最终到达满足条件的答案再倒退回来就是答案

AC代码

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL p,a;
//solve "pa/pb
void solve(LL pa,LL pb,LL qa,LL qb,LL &x,LL &y)
{
	LL z=(pa+pb-1)/pb;
	if(z<=qa/qb){
		x=z;y=1;
		return ;
	}
	pa-=(z-1)*pb;qa-=(z-1)*qb;
	solve(qb,qa,pb,pa,y,x);
	x+=(z-1)*y;
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	LL x,y;
	while(t--)
	{
		scanf("%lld%lld",&p,&a);
		solve(p,a,p,a-1,x,y);
		printf("%lld/%lld\n",x*a-p*y,x);
	}
}