重温微积分 —— 偏微分与链式法则

偏（partial）针对的是多变量微分，

0. 复合函数求导的链式法则

f(u(x)) 是复合函数，则 f(u(x)) 关于 x 的导数为：

(f(u(x)))′=f′(u(x))u′(x)

注意表示求一阶导的撇（'）所在的位置：

• (f(u(x)))′ ：表示对 x 求导；
• f′(u(x)) 则表示对 u(⋅) 求导；

复合函数的另一种表达形式为：

dydx=dydz⋅dzdx

1. 偏导下链式法则的证明

ψ(x,y)=ψ(x,y(x))ddxψ(x,y)=∂ψ∂x+∂ψ∂y⋅dydx

ψ=f1(x)g1(y)+…+fn(x)gn(y) ，求 dψdx

=f′1(x)g1(y)+f1(x)g′1(y)dydx+…+f′n(x)gn(y)+fn(x)g′n(y)dydx=(f′1g1+f′2g2+…+f′ngn)+(f1g′1+f2g′2+…+fng′n)dydx=∂ψ∂x+∂ψ∂y⋅dydx

2. 二阶偏导的记号

∂∂y(∂∂xψ)=∂2ψ∂y∂x=ψxy

• 注意记号的顺序
• 偏导之后的函数是连续的， ψxy=ψyx