分治算法——五大常用算法之一

分治法

首先看一下二分搜索：一串数字，从中间分成两半，再两半……这样查找就是分治思想：把一个问题分解成若干个一样的小块。

1、基本概念：

把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题。直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

2、分治经典问题

1.二分搜索

2.大整数乘法

3.Strassen矩阵乘法

4.棋盘覆盖问题

5.合并排序

6.快速排序

7.线性时间选择：

给定的线性集中n个元素和一个正整数k(1≤k≤n)，要求在线性时间内（即时间复杂度为O(n）)找出这n个元素中第k小的元素。

8.最接近点对问题：

给定平面上n个点，找其中一对点，使得在n个点组成的所有点对中，该点对间的距离最小。

9.循环赛日程表

10.汉诺塔问题

 

3、基本思想及策略：

①设计思想：将大问题，分割成规模较小的相同问题，各个击破，分而治之。

②分治策略：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

4、分治法适用的情况：

①该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

②该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

③利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

④该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

5、分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

    1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

    2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

    3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

    1. if |P|≤n0

    2. then return(ADHOC(P))

    3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

    4. for i←1 to k

    5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

    6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

    7. return(T)

其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。