欧几里得算法原理

辗转相除法简介：

辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

另一种求两数的最大公约数的方法是更相减损法。

辗转相除法举例：

求 10 ，25的最大公约数：
25 / 10 = 2 ······5
10 / 5   = 2 ······0
所以10，25的最大公约数为5

辗转相除法代码实现：

int gcd(a, b)
{ return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
//当余数为0时，最大公约数就是a，否则继续往下递归

利用到的原理：(a, b)与(b, a % b)的最大公约数相同。

欧几里德算法知识点：

1、gcd函数的递归层数不会超过4.785lgN + 1.6723, 其中N == max{ a，b }，所以不会导致栈溢出。

2、gcd函数不仅可以求解(a, b)的最大公约数，还可以求解小公倍数，lcm(a, b) 代表(a, b)的最小公倍数
那么有lcm(a, b) * gcd(a, b) = a * b
所以：lcm(a,b) = a * b / gcd(a, b) 但是最好写成：lcm(a,b) = a  / gcd(a, b) * b  这样一定程度可以避免 a * b 爆long long .

    

    

 

证明：