组合数学——卡特兰数

我们以一道题为例来介绍卡特兰数:

  题目链接:满足条件的01序列

给定n0n个1,它们将按照某种顺序排成长度为2n的序列,求它们能排列成的所有序列中,能够满足任意前缀序列中0的个数都不少于1的个数的序列有多少个。

输出的答案对109+7取模。

  为了便于解决,我们可以把这个问题转化成:

给定一个n*n的矩阵,每一步只能往右走或者往上走,求从左下角顶点走到右上角顶点所有方案中,往右走的步数不少于往上走的步数的方案的数量,并且对109+7取模。

  我们再将目标进行一步转化:

合法路径数 = 总路径数 - 非法路径数

  其中总路径数显然为组合数C126,故接下去只需求非法路径数即可。

  我们举n=6的实例来看:

  如下图:

  组合数学——卡特兰数_第1张图片

  从(0,0)走到(6,6)的路径所有路径就是总路径。

  显然,所有黑线以下的路径皆为合法路径,如图中绿线所示路径就是一条合法路径。

  而任何一条经过红线的路径一定是非法路径,如图中蓝线所示路径。

  那么我们将该非法路径第一次经过红线后的部分关于红线作对称,如图中黄线所示。

  不难发现,任何一条非法路径进行如上的对称操作后终点一定是(5,7)。

  进而又可以发现,从(0,0)到(5,7)的任何一条路径进行如上对称操作后一定是一条非法路径。

  故从(0,0)到(5,7)的路径与非法路径构成双射。

  那么显然,非法路径数即是组合数C125

  所以合法路径数就是C126 - C125。

  而我们又可以发现,C2nn - C2nn-1 = C2nn/(n+1)。

  这就是卡特兰数

  而上述该题正是卡特兰数的一个应用。


 卡特兰数:

  以下内容参考百度百科:卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数,卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

原理:

设h(n)为catalan数的第n项,令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式:

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为:

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为:

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

 


 卡特兰数的常见应用:

一、出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?

二、括号化

矩阵连乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)

三、凸多边形三角划分

在一个凸多边形中,通过若干条互不相交的对角线,把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n,求不同划分的方案数f(n)。比如当n=6时,f(6)=14。

四、给定节点组成二叉搜索树

给定N个节点,能构成多少种不同的二叉搜索树(能构成h(n)个)

五、n对括号正确匹配数目

给定n对括号,求括号正确配对的字符串数。

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