偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

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偏微分方程的数值解系列博文：

偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

偏微分方程的数值解(五)： 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

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目录

3.1 工具箱命令介绍

3.2 求解一维偏微分方程

例 2 试解以下之偏微分方程式

例 3 试解以下联立的偏微分方程系统

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3.1 工具箱命令介绍

MATLAB 提供了一个指令 pdepe，用以解以下的 PDE 方程式

 

其中 x 为两端点位置，即a 或b

用以解含上述初始值及边界值条件的偏微分方程的 MATLAB 命令 pdepe 的用法如 下：

 sol = pdepe(m, pdepe,icfun,bcfun, xmesh,tspan,options)

注：

1.  MATLAB PDE 求解器 pdepe 的算法，主要是将原来的椭圆型和拋物线型偏微分 方程转化为一组常微分方程。此转换的过程是基于使用者所指定的 mesh 点，以二阶空 间离散化(spatial discretization)技术为之(Keel and Berzins,1990)，然后以 ode15s 的指令 求解。采用 ode15s 的 ode 解法，主要是因为在离散化的过程中，椭圆型偏微分方程被 转化为一组代数方程，而拋物线型的偏微分方程则被转化为一组联立的微分方程。因而， 原偏微分方程被离散化后，变成一组同时伴有微分方程与代数方程的微分代数方程组， 故以 ode15s 便可顺利求解。

2.  x 的取点(mesh)位置对解的精确度影响很大，若 pdepe 求解器给出“…has difficulty finding consistent initial considition”的讯息时，使用者可进一步将 mesh 点取密 一点，即增加 mesh 点数。另外，若状态u 在某些特定点上有较快速的变动时，亦需将 此处的点取密集些，以增加精确度。值得注意的是 pdepe 并不会自动做 xmesh 的自动取 点，使用者必须观察解的特性，自行作取点的操作。一般而言，所取的点数至少需大于 3 以上。

3.  tspan 的选取主要是基于使用者对那些特定时间的状态有兴趣而选定。而间距(step size)的控制由程序自动完成。

4. 若要获得特定位置及时间下的解，可配合以 pdeval 命令。使用格式如下：

[ uout, duoutdx ] = pdeval(m, xmesh,ui, xout)

其中 m 代表问题的对称性。m =0 表示平板；m =1 表示圆柱体；m =2 表示球体。其意 义同 pdepe 中的自变量m 。

ref. Keel,R.D. and M. Berzins,“A Method for the Spatial Discritization of Parabolic Equations in One Space Variable”，SIAM J. Sci. and Sat. Comput.,Vol.11,pp.1-32,1990.

以下将以数个例子，详细说明 pdepe 的用法。

3.2 求解一维偏微分方程

例 2 试解以下之偏微分方程式

解 下面将叙述求解的步骤与过程。当完成以下各步骤后，可进一步将其汇总为一 主程序 ex20_1.m，然后求解。

步骤 1 将欲求解的偏微分方程改写成如式的标准式。

步骤 2 编写偏微分方程的系数向量函数。

function [c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx) 
c=pi^2;
f=dudx;
s=0;
 

步骤 3 编写起始值条件。

function u0=ex20_1ic(x)
u0=sin(pi*x);

步骤 4 编写边界条件。

在编写之前，先将边界条件改写成标准形式，如式（37）， 找出相对应的 p(⋅) 和 q(⋅) 函数，然后写出 MATLAB 的边界条件函数，例如，原边界条 件可写成

因而，边界条件函数可编写成

function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)
pl=ul;
ql=0;
pr=pi*exp(-t);
qr=1; 

步骤 5 取点。例如

x=linspace(0,1,20); %x 取 20 点
t=linspace(0,2,5); %时间取 5 点输出

步骤 6 利用 pdepe 求解。

m=0; %依步骤 1 之结果
sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t); 

步骤 7 显示结果。

u=sol(:,:,1);
surf(x,t,u)
title('pde 数值解')
xlabel('位置')
ylabel('时间' )
zlabel('u')

若要显示特定点上的解，可进一步指定 x 或 t 的位置，以便绘图。例如，欲了解时 间为 2(终点)时，各位置下的解，可输入以下指令(利用 pdeval 指令)：

figure(2); %绘成图 2
M=length(t); %取终点时间的下标
xout=linspace(0,1,100); %输出点位置
[uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);
plot(xout,uout); %绘图
title('时间为 2 时,各位置下的解')
xlabel('x')
ylabel('u') 

综合以上各步骤，可写成一个程序求解例 2。其参考程序如下

function ex20_1
%************************************
%求解一维热传导偏微分方程的一个综合函数程序
%************************************
m=0;
x=linspace(0,1,20); %xmesh
t=linspace(0,2,20); %tspan
%************
%以 pde 求解
%************
sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t);
u=sol(:,:,1); %取出答案
%************
%绘图输出
%************
figure(1)
surf(x,t,u)
title('pde 数值解')
xlabel('位置 x')
ylabel('时间 t' )
zlabel('数值解 u')
%*************
%与解析解做比较
%*************
figure(2)
surf(x,t,exp(-t)'*sin(pi*x));
title('解析解')
xlabel('位置 x')
ylabel('时间 t' )
zlabel('数值解 u')
%*****************
%t=tf=2 时各位置之解
%*****************
figure(3)
M=length(t); %取终点时间的下表
xout=linspace(0,1,100); %输出点位置
[uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);
plot(xout,uout); %绘图
title('时间为 2 时,各位置下的解')
xlabel('x')
ylabel('u')
%******************
%pde 函数
%******************
function [c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx)
c=pi^2;
f=dudx;
s=0;
%****************** 
%初始条件函数
%******************
function u0=ex20_1ic(x)
u0=sin(pi*x);
%******************
%边界条件函数
%******************
function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)
pl=ul;
ql=0;
pr=pi*exp(-t);
qr=1;

例 3 试解以下联立的偏微分方程系统

解 步骤 1：改写偏微分方程为标准式

 

步骤 2：编写偏微分方程的系数向量函数

function [c,f,s]=ex20_2pdefun(x,t,u,dudx)
c=[1 1]';
f=[0.024 0.170]'.*dudx;
y=u(1)-u(2);
F=exp(5.73*y)-exp(-11.47*y);
s=[-F F]';

步骤 3：编写初始条件函数

function u0=ex20_2ic(x)
u0=[1 0]';

步骤 4：编写边界条件函数

function [pl,ql,pr,qr]=ex20_2bc(xl,ul,xr,ur,t)
pl=[0 ul(2)]';
ql=[1 0]';
pr=[ur(1)-1 0]';
qr=[0 1]'; 

步骤 5： 取点。 由于此问题的端点均受边界条件的限制，且时间t 很小时状态的变动很大(由多次求 解后的经验得知)，故在两端点处的点可稍微密集些。同时对于t 小处亦可取密一些。例 如，

x=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.995 1];
t=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1 1.5 2]; 

以上几个主要步骤编写完成后，事实上就可直接完成主程序来求解。此问题的参考 程序如下：

function ex20_2
%*************************************** 
%求解一维偏微分方程组的一个综合函数程序
%***************************************
m=0;
x=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.995 1];
t=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1 1.5 2];
%*************************************
%利用 pdepe 求解
%*************************************
sol=pdepe(m,@ex20_2pdefun,@ex20_2ic,@ex20_2bc,x,t);
u1=sol(:,:,1); %第一个状态之数值解输出
u2=sol(:,:,2); %第二个状态之数值解输出
%*************************************
%绘图输出
%*************************************
figure(1)
surf(x,t,u1)
title('u1 之数值解')
xlabel('x')
ylabel('t')
%
figure(2)
surf(x,t,u2)
title('u2 之数值解')
xlabel('x')
ylabel('t')
%***************************************
%pde 函数
%***************************************
function [c,f,s]=ex20_2pdefun(x,t,u,dudx)
c=[1 1]';
f=[0.024 0.170]'.*dudx;
y=u(1)-u(2);
F=exp(5.73*y)-exp(-11.47*y);
s=[-F F]';
%****************************************
%初始条件函数
%****************************************
function u0=ex20_2ic(x)
u0=[1 0]';
%****************************************
%边界条件函数
%****************************************
function [pl,ql,pr,qr]=ex20_2bc(xl,ul,xr,ur,t)
pl=[0 ul(2)]';
ql=[1 0]';
pr=[ur(1)-1 0]';
qr=[0 1]';

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