期望DP

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数学期望

符号

\(E=p*v\) 其中\(E\)为期望，\(v\)为权值，\(p\)为概率

含义

期望表示多个可能事件的合理分配情况 (本人自己的理解，不喜勿喷)
汉语期望意思是指人们对某样东西的提前勾画出的一种标准，达到了这个标准就是达到了期望值(百度百科)
数学期望也可认为是进行某件事能得到的平均结果，或者理想代价
期望值也许和每个得到值都 不相等
举个例子
你去买彩票，每张彩票\(10\)元，中了奖可以得\(10000\)元，有\(30\%\)的概率中奖
我们来算一下买一张彩票的期望利润
首先有\(30\%\)的概率中奖，根据定义期望得到\(30\%*10000\)元
又有\(70\%\)的概率不中奖，那么我们期望得到\(70\%*0\)元
我们每次买一张彩票\(100%\)会花掉\(10\)元
所以有\(E=30\%*10000+70\%*0-10=290\)
我们可认为每买一张彩票赚了\(290\)元
但是实际上无论怎样，一张彩票都不会赚\(290\)元的。

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转移方程

几种常见设转移方程数组的方法

1. 设\(f[i]\)表示的是由\(i\)状态变成 最终 状态的期望
2. 按照题意直接设
3. 把选择的东西加入数组，如\(f[i][j]\)表示第\(i\)个物品选\(j\)个的期望或\(f[i][j]\)表示有\(i\)个\(A\)物品，\(j\)个\(B\)物品的期望

求转移方程
应优先考虑进行操作后当前状态会怎么样，而不是如何变成当前状态，即先考虑 逆向
如果逆向没有思路，则考虑 正向

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经典例题

注：没有贴出代码，有些题目现在找不到了 (至少博主没有找到)，也有博主自己想的题目 (很水)，如博主有写代码则已放进标题的链接里，那些链接都是题解，不是原题链接

SP1026FavoriteDice

题目大意

一个\(n\)面的骰子，求期望掷几次能使得每一面都被掷到

解决方法

设\(f[i]\)表示已经掷到过\(i\)面，还 期望掷多少次骰子使每一面都被掷到
现在掷一次骰子，有两种情况

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率掷到已经掷到过的面，此时仍然还要掷\(f[i]\)次骰子
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率掷到没掷到过的面，此后就掷到过\(i+1\)个面了，还需掷\(f[i+1]\)次骰子

需要注意的是，无论是掷到以上哪种情况，都需要掷一次骰子
所以有
\(f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1\)
将其化简
\(f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(f[n]=0\)，答案为\(f[0]\)
应逆向循环

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涂格子/小孩和礼物

题目大意

有\(n\)个格子，每次等概率随机给一个格子染色，问涂\(m\)次后期望有多少格子被染色了

解决方法

设\(f[i]\)表示涂\(i\)次后期望有多少格子被染色了
现在进行第\(i\)次染色，仍然有两种情况

1. 有\(\frac{f[i-1]}{n}\)的概率涂到已经涂过的格子
2. 有\(\frac{n-f[i-1]}{n}\)的概率涂到没涂过的格子

需要注意的是，无论是以上哪种，都已经有\(f[i-1]\)个格子被染色了
所以有
\(f[i]=\frac{f[i-1]}{n}·0+\frac{n-f[i-1]}{n}·1+f[i-1]\)
将其化简
\(f[i]=\frac{n-f[i-1]}{n}+f[i-1]=\frac{n-1}{n}f[i-1]+1\)
此时该式就是一个等差数列套等比数列
于是我们可以求其通项公式，博主懒得求了写下大致过程

令\(k=\frac{n-1}{n}\)
\(f_n=kf_{n-1}+1\)
\(f_n+\frac{1}{k-1}=kf_{n-1}+\frac{k}{k-1}\)
\(f_n+\frac{1}{k-1}=k(f_{n-1}+\frac{1}{k-1})\)
令\(g_n=f_n+\frac{1}{k-1}\)
则\(g_n=kg_{n-1}\)
怎么求\(g_n\)就不用说了吧
\(f_n=g_n-\frac{1}{k-1}\)
\(f_n\)也能求出来了

初值\(f[0]=0|f[1]=1\)答案为\(f[m]\)
应正向循环

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简单题

题目大意

桌面上有R张红牌和B张黑牌，随机打乱顺序后放在桌面上，开始一张一张地翻牌，翻到红牌得到1美元，黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌，在最优策略下平均能得到多少钱。

解决方法

设\(f[i][j]\)表示有\(i\)张红牌，\(j\)张黑牌的期望收益
考虑翻一张牌，还是有两种情况

1. 有\(\frac{i}{i+j}\)的概率翻到红牌，此后就只有\(i-1\)张红牌，\(j\)张黑牌
2. 有\(\frac{j}{i+j}\)的概率翻到黑牌，此后就只有\(i\)张红牌，\(j-1\)张黑牌

需要注意的是，不要忘了翻开的牌的贡献
翻开一张牌后，该颜色牌数目就少了一张

所以有
\(f[i][j]=\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1)\)
由于是最优策略，所以咱是不可能赔钱的
\(f[i][j]=max(0,\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1))\)

初值\(f[0][1]=0,f[1][0]=1\)，答案为\(f[R][B]\)
应正向循环

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亚瑟王

题目大意

给出\(n\)个技能，每个技能按输入顺序有\(p[i]\)的概率释放并造成\(d[i]\)的伤害。每轮游戏从前往后顺序查看每个技能，若技能发动过则跳过，没发动过则以\(p[i]\)的技能发动，即每个技能只能发动一次，若将一个技能发动，则进行下一轮游戏，没有成功发动或被跳过就查看下一个技能，一轮游戏可能每个技能都不发动，问\(r\)轮游戏一共能造成的伤害期望。

解决方法

因为有一个顺序查看的限制，没有后效性的状态是十分不好设的，因为不知道前面有几个技能发动了，若一个技能前面的技能在某轮发动了，则该技能本轮一定不能发动，若前面有些技能发动过，则它们都会被跳过
为了解决这种情况，我们设状态时试着强制限制技能发动（\(nr\)枚举情况），当然，设的状态仍然要满足 所有 情况都考虑在内
设\(f[i][j]\)表示对前\(i\)个技能进行了\(j\)轮游戏发生的 概率
若前\(i\)个技能进行了\(j\)轮游戏
则有\(j\)轮不会考虑第\(i+1\)个技能
即有\(r-j\)轮游戏选择了\(i\)之后的技能
此时考虑第\(i+1\)个技能的情况，分为两种

1. 有\(p[i+1]^{r-j}\)的概率\(i+1\)号技能从未发动
2. 有\(1-p[i+1]^{r-j}\)的概率\(i+1\)号技能发动过

需要注意的是，此时 已经 确定前\(i\)个技能进行并 只进行 了\(j\)轮游戏，其概率应该也计算在内
所以有

1. \(f[i+1][j]+=1-p[i+1]^{r-j}f[i][j]\)
2. \(f[i+1][j+1]+=(1-p[i+1]^{r-j})f[i][j]\)

\(j+1\)要小于等于\(r\)

初值\(f[0][0]=1\)，答案在中途计算
应正向循环

计算了概率，别忘了求的是期望伤害，在求概率的时候顺便用概率乘以伤害

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抽卡

题目大意

\(\mathcal{Morning\_Glory}\)最近迷上了抽卡，每次抽卡抽到\(6\)星卡的概率为\(p\)。抽卡活动进行\(n\)天，在第\(i\)天要花\(c[i]\)游戏币进行抽卡。求\(\mathcal{Morning\_Glory}\)抽得\(k\)张\(6\)星卡数时的期望游戏币花费。

解决方法

设\(f[i][j]\)表示第\(i\)天抽到\(j\)张\(6\)星卡的期望游戏币花费
在第\(i\)天进行抽卡，有两种情况

1. 有\(p\)的概率抽到\(6\)星卡
2. 有\(1-p\)的概率没抽到\(6\)星卡

需要注意的是无论是否翻到，都要花费
所以有
\(f[i][j]=p·f[i-1][j-1]+(1-p)·f[i-1][j]+c[i]\)

初值\(f[0][0]=1,f[0][1]=0\)，答案为\(f[n][k]\)
应正向循环

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收集邮票

POJ3682King Arthur's Birthday Celebration

这两道题是一样的类型，只需将概率与计算改一下即可，这里用收集邮票来做例题
题目大意

有\(n\)种邮票，每天等概率的买一张邮票，第\(i\)天购买要花费\(i\)元，求收集\(n\)种邮票的期望花费

解决方法

先设\(f[i]\)表示买到\(i\)种邮票后，离买到\(n\)种邮票的期望还差天数
和最上面那题一样的处理方法
考虑当前买了\(i\)张邮票，再买一张邮票，有两种情况

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率买到重复的邮票，此时仍只买到\(i\)张邮票
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率买到没买过的邮票，此后就已买到\(i+1\)张邮票

需要注意的是，无论哪种情况，都过了一天
所以有
\(f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1\)
将其化简
\(f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(f[n]=0\)，答案为\(f[0]\)
应逆向循环

当然这只是期望天数，不是期望花费
设\(g[i]\)表示 拥有(不是买)\(i\)种邮票， 买到\(n\)种邮票的期望花费
考虑当前拥有了\(i\)张邮票，买一张邮票，有两种情况

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率买到重复的邮票，此时仍只拥有\(i\)种
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率买到没买过的邮票，此后就已拥有\(i+1\)张邮票

需要注意的是，无论哪种情况，都买了一张邮票
此时我们不知道每张邮票多少钱
但我们知道每张邮票和过了多少天有关
这次的注意写在前面，我们是认为有了\(i\)张邮票后才开始，所以第一天邮票价格为\(1\)元
为什么这么设？
我们不知道也不好处理出前面买了多少张邮票，再买到一张邮票要多少钱
但是我们知道第一天肯定是只要\(1\)元的，答案为\(g[0]\)，中间的过程不重要，只需推出最终答案
我们借助初始状态的这条非常有用的性质于是就设出了这样的\(g\)
这样我们可以知道

1. 若买到重复的邮票，我们知道，因为是设当前是第一天，所以原本希望买到的邮票的天数又往后推了一天，所以总价格要多\(f[i]\)元，还要加上自己的\(1\)元
2. 若买到没买过的邮票，同理，因为后面的\(g[i+1]\)也是从第\(1\)天开始考虑的，所以原本希望买到的邮票数也往后推了一天，所以价格要多\(f[i+1]\)元，还要加上自己的\(1\)元

所以有

1. \(g[i]+=\frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1)\)
2. \(g[i]+=\frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1)\)

总写下来就是\(g[i]=\frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1)+\frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1)\)

将其化简得到
\(g[i]=\frac{i}{n-i}f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(g[n]=0\)，答案为\(g[0]\)
应逆向循环

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