高斯消元法小总结和瞎总结
啊 搞到这个算法 ，大概已经在一周前了 ，一周前做去年西安邀请赛的题，其中有一题是要用到高斯消元法求系数，然后再用矩阵快速幂求正解 ，队里ZK命自认要学数学的我 两天搞清楚那个题。。然后我就从高斯消元法入手了，大概看了两天吧，也有一定的了解了？（其实说麻烦挺麻烦，说简单也挺简单的。。主要是我天资愚钝，查阅了好多好多相关博客，模板，题解 ，还是不是很懂。。。）
时间大概过了有一周吧，凭借记忆来复述一把，接下来的一切不保证对错。（哈哈哈哈 一想到我对自己这么不负责就想笑。。）
高斯消元法 ：主要是解多元一次方程的方法。。那么问题就来了，ACM题首先不是中文题，其次它也不会直接给你一个多元一次方程，然后让你来解。所以，高斯消元的难点一：方程难列。凭借我练的那么3个小水题，都是开关问题，就是触碰一个开关，周围相应对应几个也都会关，然后问你有几次操作可以全灭或全亮或者问你应该按那些个。。这一类开关问题的方程还是比较好列的，值得一提的是 开关问题由于每个开关的选择都只有0和1（开和灭）所以就出现一种专门的高斯消元法模板 那就是：高斯消元法异或版，可以通过异或直接求解（我其实并不是很懂异或的原理，但是反正有板子嘛。。。。）
然后就是两种正常的板子，一种有整数解，一种浮点数解。
（哈？是不是要详细解释一下高斯消元的具体操作过程啊。？emmm网上的总结比我的好的多了。）
（偏偏不信这个邪 就要写个更简单通俗易懂的解释）
（写就写！）
高斯消元法 主要就是解 多元一次方程组；
（这里要用到线性代数的知识，我偏偏不用）
解 多元一次方程组，第一步其实就是要化简每一个方程式，尽量让每个式子里的未知数都减少一点（这里我是不是应该像其他博客一样画个图解释一下 emm我偏不！）
（样例：（随便想的。。。为了方便计算 还是想了个简单的数据 还是化简半天。。。然后又简化数据）
5x+3y+6z=29 3z+0x+0y=9
4x+6y+2z=22 ==> （通过一阵上下加减消元 然后上下左右移动一下）=》 2z+3x+0y=9
2x+3y+4z=20 1z+3x+2y=9
轻松解出：x=1,y=2,z=3；然后就看到 其实我已经把式子摆成想让你看到的样子。
当然这是安排好的式子 所以第一个式子里只有一个未知元 第二个式子里有两个未知元 而且未知元的系数均为整数
如果不是整数就有分数，有分数的话出来解就不是整数解 也就要用到 浮点数板子。。。。
所以其实高斯消元具体操作就是上面加粗的地方 通过一系列操作 确定每个式子的不定元有几个 有哪些 能否有解 解是整数解
还是浮点数解 emmm 大概就是这样了~）
接下来就是最开心的帖代码时刻~
只上了kuangbin大神的板子 ：
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=50;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
/*
void Debug(void){
int i, j;
for (i = 0; i < equ; i++){
for (j = 0; j < var + 1; j++){
cout << a[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
*/
inline int gcd(int a,int b){
int t;
while(b!=0){
t=b;
b=a%b;
a=t;
}
return a;
}
inline int lcm(int a,int b){
return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var){
int i,j,k;
int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for(int i=0;i<=var;i++){
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}
//转换为阶梯阵.
col=0; // 当前处理的列
for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r=k;
for(i=k+1;iabs(a[max_r][col])) max_r=i;
}
if(max_r!=k){// 与第k行交换.
for(j=k;j= 0; i--){
// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
for (j = 0; j < var; j++){
if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
}
if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
temp = a[i][var];
for (j = 0; j < var; j++){
if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
}
x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
}
return var - k; // 自由变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--){
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++){
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main(void){
int i, j;
int equ,var;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < equ; i++){
for (j = 0; j < var + 1; j++){
scanf("%d", &a[i][j]);
}
}
// Debug();
int free_num = Gauss(equ,var);
if (free_num == -1) printf("无解!\n");
else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
else if (free_num > 0){
printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
for (i = 0; i < var; i++){
if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
else{
for (i = 0; i < var; i++){
printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}