[11.07]模拟赛T1

题目描述

小修和小栋在玩一个叫做先发制人的抛硬币游戏。
游戏双方轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢。
前一场的输者，则下一场先掷．若第一场小修先扔，则小修赢得第 n 场的概率是多少。

输入

一行两个整数n。

输出

假设小修赢得第 n 场的概率是 P, 输出 P 在模 998244353 意义下的值。

样例

样例输入

1

样例输出

665496236

解释：P =$\frac{2}{3}$

数据说明与提示

对于50% 的数据， 1 ≤ n ≤ 105
对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 109。

说实话，对于n=1时P=$\frac{2}{3}$考场上真是让我苦恼了一会儿。
刚开始没推出来，然后就去看后两道，发现也不会，然后，小水一会儿就去演草纸上写《阿房宫赋》了。
也挺神奇的，写着写着就有点思路了。
所以我们先推n=1。
我们先考虑一轮，
小阳有$\frac{1}{2}$正和$\frac{1}{2}$下
小修有$\frac{1}{2}$正和$\frac{1}{2}$下
我们把这几种情况两两组合
用Y代表小阳，X代表小修，1代表正，0代表下
那么有四种情况
1Y 1X ， 1Y 0X
0Y 1X ， 0Y 0X
这里对于 0Y 0 X 的情况我们可以忽略，因为两个人都没有翻到正面，就会重新进行一轮直到不是这个结果。
所以一共有三种情况，其中两种都是小阳胜，一种小修胜所以P = $\frac{2}{3}$
那么我们考虑n>1的情况，
事实上，我们只要求第n场赢，所以n-1场以及前面的场次赢或不赢我们只关心它对先后手的影响，
设$f_{i,1}$表示第i场先手赢的概率$f_{i,0}$表示第i场先手输的概率
那么先手赢的话会交换先后手，输的话不会，
我们又知道一场的先后手获胜的概率
所以可以得到递推式$f_{i,1}=f_{(i-1),1}\ast \frac{1}{3}+f_{(i-1),0}\ast \frac{2}{3}$
不过显然这样我们不能过全部的数据。
我们可以考虑推通项公式，这里有一个更直接的规律，就不推通项公式了
我们考虑列出几项
胜：$\frac{2}{3}$ __ $\frac{4}{9}$ __ $\frac{14}{27}$ __ $\frac{40}{81}$

负：$\frac{1}{3}$ __ $\frac{5}{9}$ __ $\frac{13}{27}$ __ $\frac{41}{81}$
____1___2____3____4
我们会发现一些有趣的性质，
分母是3ⁿ
当n为奇数时： 分子是 $3^n>>1|1$
当n为偶数时：分子是$3^n>>1$
除二的操作不用处理成逆元，分母处理成逆元就好了
$$Code$$

#include

#define ll long long
#define MAXN 5000100
#define N 1001
#define INF 0x3f3f3f3f
#define gtc() getchar()

using namespace std;

template <class T>
inline void read(T &s){
	s = 0; T w = 1, ch = gtc();
	while(!isdigit(ch)){if(ch == '-') w = -1; ch = gtc();}
	while(isdigit(ch)){s = s * 10 + ch - '0'; ch = gtc();}
	s *= w;
}

template <class T>
inline void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) write(x/10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

const ll mod = 998244353;
ll mi (ll a, ll b){
	int cnt = 1;
	for(; b; b >>= 1){
		if(b & 1) cnt = (cnt * a) % mod;
		a = (a * a) % mod;
	}
	return cnt % mod;
}

ll f[MAXN][2];
int n;

int main()
{
//	freopen("coin.in", "r", stdin);
//	freopen("coin.out", "w", stdout);
	read(n);
	if(n <= 100000){
		f[1][1] = (2 * mi(3, mod - 2)) % mod;
		f[1][0] = mi(3, mod-2); 
		for(int i = 2; i <= n; ++i){
			f[i][1] = ((f[i-1][1] % mod * f[1][0] % mod) % mod + (f[i-1][0] % mod * f[1][1] % mod) % mod) % mod;
			f[i][0] = (1 - f[i][1] + mod) % mod;	
			}
		cout << f[n][1] << endl;
	} 
	else {
		ll res = mi(3, n);
		if(n & 1){
			cout << ((res/2 + 1) % mod * mi(res, mod -2) % mod ) % mod;
		}
		else {
			cout << ((res/2) % mod * mi(res, mod - 2) % mod) % mod;
		}
	}
	return 0;
}