第三章 向量

定义

• n维向量：由n个数a_1...a_n组成的一个有序数组(a_1,a_2,...,a_n)。
• 分量：组成向量的每个数。
• 维数：分量的个数。
• 行向量：写作一行的向量。
• 列向量：写作一列的向量。
• 零向量：分量全是零的向量。记作0。
• 负向量：所有分量取相反数。记作-α。
• 相等向量：同维向量的所有分量对应相等。

向量计算

• 向量加法：同维向量的分量对应相加。
• 向量数乘：kα，k与每个分量分别相乘。
• 向量减法：同维向量的分量对应相减。

线性关系

• 线性组合：β、α_1、α_2...α_n是n位向量，若存在k_1、k_2...k_n，使得β=k_1α_1+k_2α_2+...+k_nα_n，就说β是α向量组的线性组合，或者说β可以由α向量组来线性表示。k_1、k_2...k_n叫做组合系数。

性质

• 零向量可以由任意向量组线性表示。
• 向量组中任一向量可由该向量组表示。
• 任意向量可由ε_1=(1,0,...0),ε_2=(0,1,...0)...ε_n=(0,0,...1)向量组来线性表示，这个向量组叫做n维单位向量组，或者n维基本单位向量组。

向量组等价

若向量组{α_1、α_2...α_n},{β_1、β_2...β_n}可以相互线性表示，则{α_1、α_2...α_n},{β_1、β_2...β_n}等价(≌)。

• 反身性: {α_1、α_2...α_n}≌{α_1、α_2...α_n}
• 对称性：若{α_1、α_2...α_n}≌{β_1、β_2...β_n},则{β_1、β_2...β_n}≌{α_1、α_2...α_n}
• 传递性：若{α_1、α_2...α_n}≌{β_1、β_2...β_n}且{β_1、β_2...β_n}≌{γ_1、γ_2...γ_n}，则{α_1、α_2...α_n}≌{γ_1、γ_2...γ_n}

线性关系

假设α_1、α_2...α_n是n个m维向量组，若存在一组不全为0的k_1...k_n,使得k_1α_1+k_2α_2+...+k_nα_n=0,则α_1、α_2...α_n是线性相关。否则α_1、α_2...α_n线性无关。

结论

• 若向量组中存在两向量成比例，则线性相关。
• 含零向量的向量组线性相关。
• 只有一个零向量的线性组必线性相关。
• 只有一个非零向量的向量组必线性无关。
• 只有一个向量α的向量组线性相关的充要条件是α=0。
• 若部分组线性相关，则整体组线性相关。
• 整体组线性无关，部分组线性无关。
• 线性无关的向量组的每个向量按相同的位置随意增加分量得到的高维向量组也线性无关。（即向原齐次方程组添加方程，依然无非零解。）
• 线性相关的向量组的每个向量按相同的位置减少分量得到的低维向量组也线性相关。（即减少原齐次方程组的方程，依然存在非零解。）
• n个n维向量构成行列式D,则该向量组线性无关的充要条件是D!=0,线性相关的冲要条件是D=0。（即齐次方程组是否有非零解）
• n个n维单位向量组，线性无关。

定理

• α_1、α_2...α_s 线性相关的充要条件是至少一个向量可由其余向量线性表示。
• 若α_1、α_2...α_s 线性无关，且α_1、α_2...α_s、β线性相关，则β可由α_1、α_2...α_s唯一（组合系数唯一）表示。
• α_1、α_2...α_s向量组 线性无关，且可由β_1、β_2...β_t线性表示 ，则s<=t。
• α_1、α_2...α_s可由β_1、β_2...β_t线性表示，且s>t,则α_1、α_2...α_s线性相关
• 若m>n，则m个n维向量的向量组线性相关。n+1个n维向量的向量组线性相关。（齐次方程组的未知数多于方程数。）
• 两个等价的线性无关向量组含向量的个数相同。