洛谷P1908 【逆序对】

非常明显的树状数组

什么是树状数组

顾名思义,就是用数组来模拟树形结构呗。那么衍生出一个问题,为什么不直接建树?答案是没必要,因为树状数组能处理的问题就没必要建树。和Trie树的构造方式有类似之处。

树状数组可以解决什么问题

可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。

树状数组和线段树的区别在哪里

树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决,这两者的区别在哪里呢?树状数组的系数要少很多,就比如字符串模拟大数可以解决大数问题,也可以解决1+1的问题,但没人会在1+1的问题上用大数模拟。

树状数组的优点和缺点

修改和查询的复杂度都是O(logN),而且相比线段树系数要少很多,比传统数组要快,而且容易写。

缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决,功能还是有限。

树状数组介绍
二叉树大家一定都知道,如下图

洛谷P1908 【逆序对】_第1张图片

如果每个父亲都存的是两个儿子的值,是不是就可以解决这类区间问题了呢。是的没错,但是这样的树形结构,叫做线段树。

那真的的树形结构是怎样的,和上图类似,但省去了一些节点,以达到用数组建树。

洛谷P1908 【逆序对】_第2张图片

黑色数组代表原来的数组(下面用A[i]代替),红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替),发现没有,每个位置只有一个方框,令每个位置存的就是子节点的值的和,则有

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

可以发现,这颗树是有规律的

C[i]=A[i-2k+1]+A[i-2k+2]+...+A[i];(k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度)

例如i=(1000)8时候,k=3,可自行验证。

这个怎么实现求和呢,比如我们要找前7项和,那么应该是sum=C[7]+C[6]+C[4];

而根据上面的式子,容易的出SUMi=C[i]+C[i-2k1]+C[i-2k1-2k2]+.....;

其实树状数组就是一个二进制上面的应用。

现在新的问题来了:2k该怎么求呢,不难得出2k=i&ii-1;但这个还是不好求出呀,前辈的智慧就出来了,2k=i&(-i);

如何建立树状数组

上面已经解释了如何用树状数组求区间和,那么如果我们要更新某一个点的值呢,还是一样的,上面说了C[i]=A[i-2k+1]+A[i-2k+2]+...+A[i],那么如果我们更新某个A[i]的值,则会影响到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置里呢,同理有A[i]包含于C[i+2k]、C[i+2k+2k]...

于是我们得出了以下代码

#include
using namespace std;
long long n,a[500005],b[500005],c[500005],ans;
bool cmp(long long x,long long y){
    return a[x]y);
}
long long lowbit(long long x){
    return x&(-x);
}
void add(long long i,long long x){
    for(;i<=n;i+=lowbit(i))c[i]+=x;
}
long long que(long long i){
    long long sum=0;
    for(;i>0;i-=lowbit(i))sum+=c[i];
    return sum;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(long long i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),b[i]=i;
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(long long i=1;i<=n;i++)add(b[i],1),ans+=i-que(b[i]);
    printf("%lld",ans);
}

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