洛谷P1908 【逆序对】

非常明显的树状数组

什么是树状数组

顾名思义，就是用数组来模拟树形结构呗。那么衍生出一个问题，为什么不直接建树？答案是没必要，因为树状数组能处理的问题就没必要建树。和Trie树的构造方式有类似之处。

树状数组可以解决什么问题

可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。

树状数组和线段树的区别在哪里

树状数组可以解决的问题都可以用线段树解决，这两者的区别在哪里呢？树状数组的系数要少很多，就比如字符串模拟大数可以解决大数问题，也可以解决1+1的问题，但没人会在1+1的问题上用大数模拟。

树状数组的优点和缺点

修改和查询的复杂度都是O(logN)，而且相比线段树系数要少很多，比传统数组要快，而且容易写。

缺点是遇到复杂的区间问题还是不能解决，功能还是有限。

树状数组介绍
二叉树大家一定都知道，如下图

如果每个父亲都存的是两个儿子的值，是不是就可以解决这类区间问题了呢。是的没错，但是这样的树形结构，叫做线段树。

那真的的树形结构是怎样的，和上图类似，但省去了一些节点，以达到用数组建树。

黑色数组代表原来的数组（下面用A[i]代替），红色结构代表我们的树状数组(下面用C[i]代替)，发现没有，每个位置只有一个方框，令每个位置存的就是子节点的值的和，则有

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

可以发现，这颗树是有规律的

C[i]=A[i-2k+1]+A[i-2k+2]+...+A[i];（k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）

例如i=(1000)₈时候，k=3，可自行验证。

这个怎么实现求和呢，比如我们要找前7项和，那么应该是sum=C[7]+C[6]+C[4];

而根据上面的式子，容易的出SUM_i=C[i]+C[i-2^k1]+C[i-2^k1-2^k2]+.....；

其实树状数组就是一个二进制上面的应用。

现在新的问题来了：2^k该怎么求呢，不难得出2^k=i&i^i-1;但这个还是不好求出呀，前辈的智慧就出来了，2^k=i&(-i);

如何建立树状数组

上面已经解释了如何用树状数组求区间和，那么如果我们要更新某一个点的值呢，还是一样的，上面说了C[i]=A[i-2k+1]+A[i-2k+2]+...+A[i]，那么如果我们更新某个A[i]的值，则会影响到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置里呢，同理有A[i]包含于C[i+2^k]、C[i+2^k+2^k]...

于是我们得出了以下代码

#include
using namespace std;
long long n,a[500005],b[500005],c[500005],ans;
bool cmp(long long x,long long y){
    return a[x]y);
}
long long lowbit(long long x){
    return x&(-x);
}
void add(long long i,long long x){
    for(;i<=n;i+=lowbit(i))c[i]+=x;
}
long long que(long long i){
    long long sum=0;
    for(;i>0;i-=lowbit(i))sum+=c[i];
    return sum;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(long long i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),b[i]=i;
    sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(long long i=1;i<=n;i++)add(b[i],1),ans+=i-que(b[i]);
    printf("%lld",ans);
}