二分搜索树

　　前言：

　　　先立flag吧，18年每天一个算法或数据结构知识点的学习与总结！每周5个，大约会有50个吧，感觉基础的数据结构和算法都应该掌握了！但不能每天都写博客，时间有限，每周一篇或两篇进行分享，年底进行检验结果，加油！

　　这次要介绍的是二分搜索树，从名字也能看出它的实现和作用了，实现是以二叉树为基础来实现的，作用是进行数据查找。

　　一、二分查找

　　二分查找应该应熟悉了吧？要在顺序储存结构中进行查找，跟最中间的数据进行比较，小的话去前半部分进行查找，否则，去后半部分去查找，其实，可以用迭代和递归分别来实现二分查找。

　　1、迭代法　　

　　首先，用迭代法来实现，代码如下：

// 二分查找法,在有序数组arr中,查找target
// 如果找到target,返回相应的索引index
// 如果没有找到target,返回-1
template
int binarySearch(T arr[], int n, T target){

    // 在arr[l...r]之中查找target
    int l = 0, r = n-1;
    while( l <= r ){

        //int mid = (l + r)/2;
        int mid = l + (r-l)/2;
        if( arr[mid] == target )
            return mid;

        if( arr[mid] > target )
            r = mid - 1;
        else
            l = mid + 1;
    }

    return -1;
}

　　需要注意的一点是：int mid = (l + r)/2;我注释的这个求mid会有一个bug,当l和r达到int的最大值时，会出现越界的问题。这也是算法的魅力，需要注意很多细节并有很多地方需要优化！学无止境！

　　2、递归法

　　用递归法实现，代码如下：

// 用递归的方式写二分查找法
template
int __binarySearch2(T arr[], int l, int r, T target){

    if( l > r )
        return -1;

    int mid = (l+r)/2;
    if( arr[mid] == target )
        return mid;
    else if( arr[mid] > target )
        return __binarySearch2(arr, 0, mid-1, target);
    else
        return __binarySearch2(arr, mid+1, r, target);

}

　　用递归最重要的一点就是：要有结束条件

　　3、main函数测试两种方法

　　写一个main函数，进行简单的测试，数据量用的比较大，PS：用一个算法进行一下优化，一看数据量就几百，根本没必要优化，数据量不过万，谈算法意义并不大！

main函数主要对两种算法进行时间对比：

int main() {

    int n = 1000000;
    int* a = new int[n];
    for( int i = 0 ; i < n ; i ++ )
        a[i] = i;

    // 测试非递归二分查找法
    clock_t startTime = clock();
    for( int i = 0 ; i < 2*n ; i ++ ){
        int v = binarySearch(a, n, i);
        if( i < n )
            assert( v == i );
        else
            assert( v == -1 );
    }
    clock_t endTime = clock();
    cout << "Binary Search (Without Recursion): " << double(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC << " s"<<endl;

    // 测试递归的二分查找法
    startTime = clock();
    for( int i = 0 ; i < 2*n ; i ++ ){
        int v = binarySearch2(a, n, i);
        if( i < n )
            assert( v == i );
        else
            assert( v == -1 );
    }
    endTime = clock();
    cout << "Binary Search (Recursion): " << double(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC << " s"<<endl;


    delete[] a;

    return 0;
}       

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　　运行结果如下：　　

　　会发现递归运行时间长，因为递归会反复调用，会耗时的。

　　二、二分搜索树

　　1、介绍

　　什么是二叉搜索树呢？

　　首先，它是一颗二叉树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

　　如下图就是二叉搜索树：

　　

 

　　2、构建一个BST类

　　先建一个BST类用于存放二叉搜索树，还包括一些构造函数、插入和查找等，代码如下：

template 
class BST {

private:
    struct Node {
        Key key;
        Value value;    //key和value值相等
        Node *left;    //左子树
        Node *right;    //右子树
                //结构体的构造函数
        Node(Key key, Value value) {
            this->key = key;
            this->value = value;
            this->left = this->right = NULL;
        }

        Node(Node *node) {
            this->key = node->key;
            this->value = node->value;
            this->left = node->left;
            this->right = node->right;
        }
    };

    Node *root;    
    int count;

public:
    BST() {    //类的构造函数
        root = NULL;
        count = 0;
    }
    ~BST() {
        destroy(root);
    }

    int size() {
        return count;
    }

    bool isEmpty() {
        return count == 0;
    }

    void insert(Key key, Value value) {
        root = insert(root, key, value);
    }

    bool contain(Key key) {    //是否包含
        return contain(root, key);
    }

    Value* search(Key key) {    //查找
        return search(root, key);
    }

    // 前序遍历
    void preOrder() {
        preOrder(root);
    }

    // 中序遍历
    void inOrder() {
        inOrder(root);
    }

    // 后序遍历
    void postOrder() {
        postOrder(root);
    }

    // 层序遍历
    void levelOrder() {

        queue q;
        q.push(root);
        while (!q.empty()) {

            Node *node = q.front();
            q.pop();

            cout << node->key << endl;

            if (node->left)
                q.push(node->left);
            if (node->right)
                q.push(node->right);
        }
    }

    // 寻找最小的键值
    Key minimum() {
        assert(count != 0);
        Node* minNode = minimum(root);
        return minNode->key;
    }

    // 寻找最大的键值
    Key maximum() {
        assert(count != 0);
        Node* maxNode = maximum(root);
        return maxNode->key;
    }

    // 从二叉树中删除最小值所在节点
    void removeMin() {
        if (root)
            root = removeMin(root);
    }

    // 从二叉树中删除最大值所在节点
    void removeMax() {
        if (root)
            root = removeMax(root);
    }

    // 从二叉树中删除键值为key的节点
    void remove(Key key) {
        root = remove(root, key);
    }

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　　3、插入节点

　　首先，它是二叉树，都具有的性质是递归，所以用递归相对比较简单，画一张图如下供参考：

　　

　　假如，先插入8，跟根节点12比较，比它小去左子树，跟节点5比较，比它大去右子树；再例如，插入13，跟根节点12比较，比它大去右子树；代码如下：

// 向以node为根的二叉搜索树中,插入节点(key, value)
    // 返回插入新节点后的二叉搜索树的根
    Node* insert(Node *node, Key key, Value value) {

        if (node == NULL) {
            count++;
            return new Node(key, value);
        }

        if (key == node->key)
            node->value = value;
        else if (key < node->key)
            node->left = insert(node->left, key, value);
        else    // key > node->key
            node->right = insert(node->right, key, value);

        return node;
    }

　　4、查找节点

　　跟插入的思想很像，也是不断比较，用递归的思想去查找，代码如下：

// 在以node为根的二叉搜索树中查找key所对应的value
    Value* search(Node* node, Key key) {

        if (node == NULL)
            return NULL;

        if (key == node->key)
            return &(node->value);
        else if (key < node->key)
            return search(node->left, key);
        else // key > node->key
            return search(node->right, key);
    }

　　5、三种遍历方法

　　三种方法分别是：先序遍历、中序遍历和后序遍历。画图讲解一下吧，如下图：　　PS：依旧是全网最丑图，不接受反驳！

　　

　　三种遍历的本质：访问路径一样，访问顺序不一样。

　　先序遍历：根左右，先访问根节点、再左节点、其次右节点

　　中序遍历：左根右，先访问左节点、再根节点、其次右节点

　　后序遍历：左右根，先访问左节点、再右节点、其次根节点

　　用上面的图解释这句话，那条红线就是访问路径，三种遍历方式都是这条访问路径；用节点旁边的三个红点来表示访问和顺序，这么说，可能还是懵。

　　拿先序来举个例子吧：访问路径一样，都从根节点12出发，遇到“先序红点”，直接输出12，然后是5，最后的先序结果上图下面的结果。　

　（1）先序遍历

　　先序遍历程序如下：

// 对以node为根的二叉搜索树进行先序遍历
    void preOrder(Node* node) {

        if (node != NULL) {
            cout << node->key << endl;
            preOrder(node->left);
            preOrder(node->right);
        }
    }

　　（2）中序遍历

　　中序遍历程序如下：　

// 对以node为根的二叉搜索树进行中序遍历
    void inOrder(Node* node) {

        if (node != NULL) {
            inOrder(node->left);
            cout << node->key << endl;
            inOrder(node->right);
        }
    }

　　（3）后序遍历

　　后序遍历程序如下：

// 对以node为根的二叉搜索树进行后序遍历
    void postOrder(Node* node) {

        if (node != NULL) {
            postOrder(node->left);
            postOrder(node->right);
            cout << node->key << endl;
        }
    }

　　6、总体程序

　　总体的程序如下，方便调试和使用，程序如下：

#include 
#include 
#include 
#include

using namespace std;

template 
class BST {

private:
    struct Node {
        Key key;
        Value value;
        Node *left;
        Node *right;

        Node(Key key, Value value) {
            this->key = key;
            this->value = value;
            this->left = this->right = NULL;
        }

        Node(Node *node) {
            this->key = node->key;
            this->value = node->value;
            this->left = node->left;
            this->right = node->right;
        }
    };

    Node *root;
    int count;

public:
    BST() {
        root = NULL;
        count = 0;
    }
    ~BST() {
        destroy(root);
    }

    int size() {
        return count;
    }

    bool isEmpty() {
        return count == 0;
    }

    void insert(Key key, Value value) {
        root = insert(root, key, value);
    }

    bool contain(Key key) {
        return contain(root, key);
    }

    Value* search(Key key) {
        return search(root, key);
    }

    // 前序遍历
    void preOrder() {
        preOrder(root);
    }

    // 中序遍历
    void inOrder() {
        inOrder(root);
    }

    // 后序遍历
    void postOrder() {
        postOrder(root);
    }

    // 层序遍历
    void levelOrder() {

        queue q;
        q.push(root);
        while (!q.empty()) {

            Node *node = q.front();
            q.pop();

            cout << node->key << endl;

            if (node->left)
                q.push(node->left);
            if (node->right)
                q.push(node->right);
        }
    }

    // 寻找最小的键值
    Key minimum() {
        assert(count != 0);
        Node* minNode = minimum(root);
        return minNode->key;
    }

    // 寻找最大的键值
    Key maximum() {
        assert(count != 0);
        Node* maxNode = maximum(root);
        return maxNode->key;
    }

    // 从二叉树中删除最小值所在节点
    void removeMin() {
        if (root)
            root = removeMin(root);
    }

    // 从二叉树中删除最大值所在节点
    void removeMax() {
        if (root)
            root = removeMax(root);
    }

    // 从二叉树中删除键值为key的节点
    void remove(Key key) {
        root = remove(root, key);
    }

private:
    // 向以node为根的二叉搜索树中,插入节点(key, value)
    // 返回插入新节点后的二叉搜索树的根
    Node* insert(Node *node, Key key, Value value) {

        if (node == NULL) {
            count++;
            return new Node(key, value);
        }

        if (key == node->key)
            node->value = value;
        else if (key < node->key)
            node->left = insert(node->left, key, value);
        else    // key > node->key
            node->right = insert(node->right, key, value);

        return node;
    }

    // 查看以node为根的二叉搜索树中是否包含键值为key的节点
    bool contain(Node* node, Key key) {

        if (node == NULL)
            return false;

        if (key == node->key)
            return true;
        else if (key < node->key)
            return contain(node->left, key);
        else // key > node->key
            return contain(node->right, key);
    }

    // 在以node为根的二叉搜索树中查找key所对应的value
    Value* search(Node* node, Key key) {

        if (node == NULL)
            return NULL;

        if (key == node->key)
            return &(node->value);
        else if (key < node->key)
            return search(node->left, key);
        else // key > node->key
            return search(node->right, key);
    }

    // 对以node为根的二叉搜索树进行前序遍历
    void preOrder(Node* node) {

        if (node != NULL) {
            cout << node->key << endl;
            preOrder(node->left);
            preOrder(node->right);
        }
    }

    // 对以node为根的二叉搜索树进行中序遍历
    void inOrder(Node* node) {

        if (node != NULL) {
            inOrder(node->left);
            cout << node->key << endl;
            inOrder(node->right);
        }
    }

    // 对以node为根的二叉搜索树进行后序遍历
    void postOrder(Node* node) {

        if (node != NULL) {
            postOrder(node->left);
            postOrder(node->right);
            cout << node->key << endl;
        }
    }

    void destroy(Node* node) {

        if (node != NULL) {
            destroy(node->left);
            destroy(node->right);

            delete node;
            count--;
        }
    }

    // 在以node为根的二叉搜索树中,返回最小键值的节点
    Node* minimum(Node* node) {
        if (node->left == NULL)
            return node;

        return minimum(node->left);
    }

    // 在以node为根的二叉搜索树中,返回最大键值的节点
    Node* maximum(Node* node) {
        if (node->right == NULL)
            return node;

        return maximum(node->right);
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    Node* removeMin(Node* node) {

        if (node->left == NULL) {

            Node* rightNode = node->right;
            delete node;
            count--;
            return rightNode;
        }

        node->left = removeMin(node->left);
        return node;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    Node* removeMax(Node* node) {

        if (node->right == NULL) {

            Node* leftNode = node->left;
            delete node;
            count--;
            return leftNode;
        }

        node->right = removeMax(node->right);
        return node;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中键值为key的节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    Node* remove(Node* node, Key key) {

        if (node == NULL)
            return NULL;

        if (key < node->key) {
            node->left = remove(node->left, key);
            return node;
        }
        else if (key > node->key) {
            node->right = remove(node->right, key);
            return node;
        }
        else {   // key == node->key

            if (node->left == NULL) {
                Node *rightNode = node->right;
                delete node;
                count--;
                return rightNode;
            }

            if (node->right == NULL) {
                Node *leftNode = node->left;
                delete node;
                count--;
                return leftNode;
            }

            // node->left != NULL && node->right != NULL
            Node *successor = new Node(minimum(node->right));
            count++;

            successor->right = removeMin(node->right);
            successor->left = node->left;

            delete node;
            count--;

            return successor;
        }
    }
};


void shuffle(int arr[], int n) {

    srand(time(NULL));
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int x = rand() % (i + 1);
        swap(arr[i], arr[x]);
    }
}

int main() {

    srand(time(NULL));
    BST<int, int> bst = BST<int, int>();

    int n = 10;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int key = rand() % n;
        // 为了后续测试方便,这里value值取和key值一样
        int value = key;
        //cout<
        bst.insert(key, value);
    }

    // test remove
    // remove elements in random order
    int order[10] = {0};
    for (int i = 0; i < n; i++)
        order[i] = i;
    shuffle(order, n);

    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (bst.contain(order[i])) {
            bst.remove(order[i]);
            cout << "After remove " << order[i] << " size = " << bst.size() << endl;
        }

    system("pause");


    return 0;
}

View Code

　　

　　总结：　　

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