对数学的思考

最近因为工作关系，看了一些数学书。我以TAMU的两位教授所著的一本小书为例发表一些浅见。该书名为A First Course in Wavelets with Fourier Analysis（国内有电子工业出版社的影印版本）。

一、背景

傅立叶分析是所有理工科学生都多少知道一点的，傅立叶分析的主要内容有傅立叶级数、傅立叶变换等。傅立叶级数是所有学过工科高等数学课程的学生都知道的。而作为电子工程系的学生，对傅立叶分析的掌握程度基本决定了他的信号处理的水平。

傅立叶分析是调和分析的一个总要分支。最早的三角级数展开是由于解偏微分方程的需要，在18世纪由法国的工程师兼学者Fourier在其名著《热的解析理论》中予以详细讨论的。实际上，三角级数展开不仅在实用中有重大意义，而且对于现代数学的发展都深具影响。实变函数论的开创者Lebesgue（1875年生）最早就是通过研究三角级数从而提出明晰的测度概念，并将黎曼积分扩充为Lebesgue积分，从而大大扩充可积函数的范围的。

三角级数还是产生很多病态函数的温床。比如1872年，魏尔斯特拉斯就利用三角级数构造出f(x)=sigma[b^n * cos(a^n*pi*x)]（对n＝0，1，…求和）。此函数就是一个处处连续但处处不可导的函数。而正是对病态函数的研究促成了数学分析的革命。

二、对“分析”的分析

目前国内工科学生学习的数学主要有：高等数学（主要是18世纪前的一些数学分析的内容，包括一些解析几何）、线性代数、概率统计、复变函数、积分变换。后四门课的名字很明确，基本反映了内容。但是“高等数学”这个名字就显得非常含混，究竟什么叫高等数学呢？实际上正如我前面所说，主要包含一些分析的老的内容。

我现在要问的是，为什么数学分析叫做数学分析？这个问题若搞清楚，就可以从本质上把握数学分析的体系，而不是在那里被动的被胡涂先生带着做模仿动作了（陈文灯这种人是要害死中国一代青年的！学数学决不是模仿！而是要有高屋建瓴的把握）。

我沿着西方的分析思想，对“分析”二字结合数学分析的内容做一个分析。如果有人复习数学的话，我下面的一段话对他肯定会大有用处，能否消受，要看自己的造化了。

分析的英文原文是analysis，MW字典对其原意的解释是separation of a whole into its component parts。汉语的分析，我们要分析成两个字，第一个字是分，第二个字是析。据金山词霸，分的本意是：（会意。从八，从刀。“八”就是分，从“刀”，是以刀剖物，使之分开的意思。本义：一分为二）。析的本意是：（会意。从木，从斤。用斧子劈开木头。本义：劈，劈木头）。这两个字都是会意字。所以analysis汉语翻译做“分析”是恰当的。当然分析一词还有引申义， “将事物、现象、概念分门别类，离析出本质及其内在联系”。

有了以上的认识，我们可以来探讨数学分析的主要任务了（正是这些任务使得数学分析成为一个整体，而不是分立概念的罗列）。

从集合、映射的观点来看（这些都是19世纪、20世纪的一些观念），数学分析的主要对象是定义域、值域均是实数集合子集的映射（这种映射基本就是所谓实变函数的范围，实变函数是一种特殊的函数，而函数是数集间的映射）。所以换句话，数学分析的对象是函数，数学分析也可以叫做函数分析。

对于函数的分析，可以有引申意义上的分析，也可以有本意上的分析。大家多侧重于对引申意义的分析，对本意反倒忽略了。下面的一些分析都是我们所熟知的引申意义上的分析。

比如研究了四种特殊的函数性质：周期性、奇偶性、有界性、单调性。

这四种特性都是几何上非常直观的（在数学分析发展的早期，直观是指引人前进的很好工具）。注意到，在中学利用初等的工具研究了六种初等函数（常数、幂、指、对、三角、反三角）的某些简单性质（注意简单二字，初等函数的许多性质用初等方法研究需要相当的技巧，或者说没有一般的规律可循，据说阿基米德在求球体的体积的时候，就求过几个特殊的简单积分，但是他当时当然没有微积分的明确概念，可见利用初等数学的工具解决复杂的难题需要专家的技巧，而数学家的任务是寻求一类问题的规律，或者说是寻求求解过程的公式化和机械化）。

实际上，对大多数函数，用初等数学的方法分析，都很难得出深刻的结论。大家可能记得在高中为了求出一个函数的极值需要多大的技巧。

人类得到比较明晰的极限的概念，花掉了大约2000年的时间，到了牛顿和莱布尼茨的时代，才有了比较明确（但是离严密还差的很远）的极限概念。正是极限的概念刷新了分析数学的历史，自从极限的概念被确立后，微积分的概念才有了比较合理的基础，这为函数的分析（数学分析的内容）提供了有力的工具。

有了极限的工具，就可以研究函数在局部和无穷远处的发展趋势，这就是从动态的角度研究函数了。我们知道求极值是对函数分析的重要内容。显然，了解函数值的变化趋势，对求函数的极值肯定是有好处的。有了极限的概念，就可以刻划函数的发展趋势。实际上刻划像相对原像变化率的一个很有用的工具就是一个特殊的极限——导数。有了导数，当然可以继续研究高阶导数。

在有了导数以后，为了沟通函数与其各阶导数的性质，就有了中值定理。（我现在还有疑问，中值定理的出现是否是一种必要性的推动，还是纯理性思考的产物），这些中值定理主要是由法、德两国人创立。

我们可以看看中值定理提出者德生卒年，这样可以给我们重要的启示（依照逻辑顺序排列）。

1、费马定理 Fermat 1601－1665

2、罗尔定理 Rolle 1652－1719（标准教科书证明利用了费马定理）

3、拉各朗日 1736－1813（证明利用了罗尔定理）

4、柯西 1789－1857（证明利用了拉各朗日定理）

5、落笔大 1661－1704（证明利用了柯西定理）

6、泰勒 1685－1731（证明利用了柯西定理）

现在我们能够看到明确的问题了!

1、从罗尔定理到拉各朗日几乎用了50年以上的时间（由于缺乏详细的史料，我们自能根据生卒年大致分析），从拉各朗日到柯西也大概用了50年时间。启发：我们往往惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是事实证明，就是这几个中值定理，就花了人类100年的时间（请考虑世界上研究数学的人的数目），我们所看到的逻辑严谨，周密都不过是对历史整理后的假相。当然时代进化到21世纪，我们不能用18世纪的速度要求人类和自己。

2、落笔大，泰勒出生都比柯西早100年，何以他们提出的中值定理的证明却利用了未出生的人的定理呢？

对这个问题，我们可以肯定的是：泰勒的原始证明，落笔大的原始论证都没有用到柯西定理！而现在我们所看到的证明是数学史家在对历史进行梳理后的产物！泰勒，落笔大所用的概念肯定比柯西原始，可能还非常不严密。

这两点对我们的总的启示是，即使是世界上第一流的头脑，也难以在短时间内创造非常严密的系统的理论。我们中国的教材在物理，化学上提及了历史但是在数学上却忽略了。当年我在学习数学分析的时候就非常自卑，为什么别人能够创造这样美妙的体系，而我们就不行。现在终于明白了。

数学的发展史使我倾向于直觉主义的数学哲学，也就是原始的数学思想，来源于人的直觉，尽管这些直觉在天才的脑子里面往往是粗糙的，正如钻石不经打磨不能耀眼一样。我们应该知道（却没有被老师告知和教材教知）牛顿的原始的微积分概念是非常含混的和没有稳固基础的。牛顿对无穷小和无限本身就不够清晰（考虑到他是几百年前的大哥，饶了他），贝克莱大主教攻击牛顿的无穷小概念在哲学上站不住脚，马克思也抱怨牛顿对高阶无穷小的无端忽略是“暴力镇压”。我们所熟知的yipusilon-delta法则是柯西在牛顿身后几百年才提出的，而对实数集合连续性的讨论是由魏而斯特拉是、cantor等人完善的，没有上述理论，牛顿的理论是非常不严密的。我们看到的数学大厦曾经经历了多少次的危机。甚至到今日，数学的基础仍存在严重的危机！

在数学教材中，除了摆事实（用公里化的方法把文章做得花团锦簇一般）自能使学生成为可怜虫，在事后诸葛亮们得整理下，本来令人佩服得天才成了高不可攀的神袛。严重打击学生的兴趣和自信。而对历史发展进程的整理也歪曲了数学发展的真相，使得历史发展的进程被抹煞，本来自然的，可以理解的idea的发展成为高不可攀的绝妙证明。学生成为一个袖手旁观者，而不是一个数学发展的见证人和参与者。而我们中国需要的更多的就是这种开拓性人才！

有了微分，按照惯例，就应该考虑其逆运算。这就是所谓不定积分。这是容易理解的。对初等函数的研究也是顺理成章的。许多学生不都把定积分和不定积分混为一谈，认为定积分不过是对不定积分的求值。但是，如果概念清晰的话，不定积分应该是微分的逆算子。这是逻辑上的必然延续。但是，定积分（严格说是黎曼积分）可以认为是部分和的极限，这种积分可以认为是从几何直观上求解实际问题时得出的。这样看来，利用部分和极限求级数的和就本来不是一种技巧，而是当然了。

我们知道，黎曼积分对可积函数的要求是比较苛刻的，由于在历史上，先研究的函数都是一些比较漂亮的函数，所以在当时，并没有问题。但是乐贝格出世后却在逆反心理的引导下，研究那些性质不那样漂亮的函数（比如狄里赫莱函数，还有上面提到的维尔斯特拉斯提出的病态函数）。这样就使得测度的概念进一步明晰。对区间长度的衡量由一个原始的概念过渡到（进化到）集合测度的概念（cantor的集合论研究大概和乐贝格相距不远）。这就是积分的概念。

在积分概念后，数学分析研究了级数（实际上由于数列是一种特殊形式的函数，定义域为散点，级数可以认为是积分概念的离散形式）。对级数的研究分为常项级数和函数级数。其中非常总要的就是三角级数。

实际上在这里，我们可以在分析的本源意义上了解为什么分析叫分析。

回到MW字典的定义，separation of a whole into its component part。我们可以在原意上理解这句话。数学分析的对象是函数。我们把上述定义中的a whole换做函数function看看。separation of a function into its component parts。事情清楚了，数学分析在本源意义上的理解就是对函数进行分解，分解成需要的部件。

我们研究了幂级数，就是将函数展开成多项式的形式的函数分量（或部件）的和。比如泰勒级数，从中值定理就很自然得出。这在计算数学上也是有意义的。因为幂级数大多收敛很快，而且易于用算法描述。

研究了幂级数后，又研究了三角级数展开，这次也是没头没脑，为什么要展开呢。傅立叶的热学分析表明这样展开是有益的。我们可以看到三角级数的展开出奇的简洁，就像神话一样！难道这些家伙就这么聪明？他们怎么晓得这么搞？（同样是历史的歪曲令人费解，傅立叶之制造三角级数是从研究偏微分方程起步的，在那种特殊的背景下，相对还是比较自然的）。

其实，数学分析的主要内容就是这些（微分方程是另外一门单独学问），多重积分实际上只是上述基本想法的自然衍生而已，大多数问题二流数学家足以完成。

我们现在知道数学分析是对初等数学的一次抽象，现在要问的就是对数学分析的再次抽象的结果如何，这就要求我们把数学分析中的对象仍看作特例，去寻求更一般的规律。

以傅立叶级数为例，如果把三角级数展开看作特例，我们可以抽出三角级数展开的关键性质－－正交性。在这种宏观视角下，我们可以把函数看成集合或空间中的点，而把级数的正交标准基函数看作直角坐标。从而把函数的三角展开看成是对点在正交系中求坐标（傅立叶系数就是坐标）。

这样，函数本身就成为了一个点，可以与复平面的向量类比（我们在这里又要感谢法国的天才笛卡儿，他天才的将坐标系设计成正交的，为什么呢？）我们现在可以回答这个问题，为什么直角坐标系是直角的，或者说是正交的分解。

在内积空间中可以很容易的看出这个问题。正交系相对于一般的基而言使用起来是无比的方便。

我们看出正是从数学分析中的特殊概念进行进一步抽象，我们得到了更好的理解，由天才构做的特例中导出一般的概念，是另一类数学家（称之为整理家）的重要工作。

在20世纪，法国的数学继续称雄全球，其中的布尔坝基学派就是能够从抽象的角度整体思考数学的一群年轻数学家。我们容易发现，法兰西民族的优秀的抽象能力和总多的天才人物为数学的发展做出了巨大的贡献。这一贡献，除了德国和欧陆的其他几个国家能够比拟以外，连英国都不能够比拟。

我们说，第一流的数学家是那些能够提出原始概念，开创新的思路的科学家。比如：

欧氏几何之余欧几里的；

微积分之于牛，莱；

解析几何之于笛卡儿；

拓扑学之于庞卡来；

泛函分析之于乐贝格，banach。

cantor之于集合论。

群论之于伽罗华（真正的天才！同样是伟大的法兰西人）。

同样那些具有非凡直觉的数学家也是第一流的，比如高斯，黎曼（猜想）等。

很遗憾的，我们中国的本土数学家大概都是在西方人创造的数学空间中去工作。有些人能解决西方人出的题目，但是很少有人能开创新的局面。陈省身先生希望21世纪中国能够成为能与西方诸重要国家平等对话的数学大国。在我们国内的普遍教育模式下，我认为这个希望在本世纪上半叶实现还是有困难。

我们现在的这种教材是培养中才使用的，而对于培养上才则不合理。不仅内容陈旧（现在在研究生层次开设泛函分析课作为对微积分的延续，但是鲜有老师能够讲的精彩，学生能够真正领会实质的），而且教育方法严重失败。教材成了定理的罗列。而对定理的逻辑关系，来龙去脉，根本不提，完全是从应用的角度去教学，根本没有指望学生能够参与数学发展的进程（老师就大多是虫一样的混混人物，怎么想得到培养学生成龙？）。

实际上，现在日本的数学比中国要好。日本数学家里面得大奖的很不少。（不过日本人现在也没有出现能开创新学科的人）

这种局面反映在计算机科学领域也是这样。对操作系统的研发是由西方人作。对高级语言的定义中国人无缘置喙。中国人忙于学习用别人定义的高级语言和提供的编译器，开发工具，在别人的操作系统和开发平台上做应用级为主的开发。（即使现在所谓的龙芯、汉芯都出世了，但是我们大家都知道这不过是一些海龟从他们的国外老师的实验室里面clone过来的，在概念上并无重大突破）。

在信号处理领域，我们中国人做信号处理也有几十年了，就没有一个人能够在看出傅立叶分析不足的前提下，做出小波分析的雏形。而在不同领域西方人在20世纪提出大约17种不同的小波雏形。

如果继续延续这种状况，我可以肯定的说，这个民族没有希望！创新不是空喊，创新需要环境。培养具有创新精神的大学生，我们需要有好的教授和教材。我们需要有具有挑战性的问题。我们需要摆脱针对就业压力而学的所谓实用技术（糊口技术）（起码针对部分学生应该如此）或埋头做考研的准备。

我们需要一流教授讲基础课，我们需要给一流研究者提供衣食无忧的条件，让他们的头脑去考虑一些有价值的问题，不要让奔驰车拉大白菜了！

中国大学生，中国知识分子，该觉醒了！

当国者，该觉醒了！