[再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式)

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ 

 

解答: 用 $-f$ 代替 $f$, 而不妨设 $$\bex \exists\ c\in (0,1),\st 0<f(c)=\max_{x\in [0,1]}|f(x)|. \eex$$ 又由 Lagrange 中值定理, $$\beex \bea \exists\ \xi_1\in (0,c),&\st f(c)=f(c)-f(0)=f'(\xi_1)c,\\ \exists\ \xi_2\in (c,1),&\st f(c)=f(c)-f(1)=f'(\xi_2)(c-1). \eea \eeex$$ 于是 $$\beex \bea \int_0^1 |f''(x)|\rd x&\geq \int_{\xi_1}^{\xi_2} |f''(x)|\rd x\\ &\geq \sev{\int_{\xi_1}^{\xi_2}f''(x)\rd x}\\ &=\sev{f'(\xi_2)-f'(\xi_1)}\\ &=\sev{\cfrac{1}{c-1}-\cfrac{1}{c}}f(c)\\ &=\cfrac{f(c)}{c(1-c)}\\ &\geq 4f(c). \eea \eeex$$