[再寄小读者之数学篇](2014-07-16 二阶中值)

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可微, 试证: 对任意 $c\in (a,b)$, 存在 $\xi\in (a,b)$ 使得 $$\bex \frac{f''(\xi)}{2}=\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}. \eex$$

 

提示:  考虑函数 $$\beex \bea F(t)&=f(t)-\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}(t-b)(t-c)\\ &\quad-\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}(t-a)(t-c)\\ &\quad-\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}(t-a)(t-b), \eea \eeex$$ 则 $$\bex F(a)=F(b)=F(c)=0. \eex$$ 应用 Rolle 定理两次即得结论.