内积

一、欧几里得空间

定义：设是实数域的线性空间，映射称为上的内积（Inner product），记作，满足:

• 对称性：
• 对第二个元素的线性性：
• 正定性，非零向量跟自己的内积是大于0的，

对于第二条性质的解释，内积本来是一个二元函数，当将第一个参数固定住，就变成了关于第二个参数的一元函数，此时这个函数是一个线性函数（映射），即这个映射是线性的，线性组合的像等于像的线性组合。

在上线性空间上定义了内积，就称为内积空间，若空间是有限维的，则称为欧几里得空间。

上的标准内积

计算为：证明这是不是内积，就挨个check一下那三条性质。

函数的内积

连续函数空间，设两个向量，其中定义内积

二、复内积和酉空间（Unitary Space，也称为辛空间）

定义：设是上的线性空间，复内积：满足:

• 对第二个元素的线性性
• 正定性：且大于0

有限维的复内积空间称为酉空间。

对第一个元素是共轭线性的：

标准酉空间

在上定义复内积

线性组合的内积的矩阵表示：

Gram矩阵

设是内积空间的一个向量组，则矩阵其中基向量组的Gram矩阵称为度量矩阵。

性质：

• Hermit性：，证明简单，
• 非负定性：，有，证明：
• 正定 向量组线性无关，证明：设，则，再根据上一条性质即可证明。

在上的Gram矩阵，有一个向量组，这里是具体的向量，不是抽象的，则，证明：

设，其中，Gram矩阵

三、向量的长度和距离

定义：

• 正性：，iff 时，
• 正齐性：
• 三角不等式：
• Cauchy-Schwarz不等式：
• 平行四边形公式：

证明Cauchy-Schwarz不等式：两边乘以的倒数设，要证明，则等号成立的条件是和线性相关。