Dijkstra算法

最短路径之Dijkstra算法详细讲解  

  最短路径算法

在日常生活中,我们如果需要常常往返A地区和B地区之间,我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中,那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括:

(1)确定起点的最短路径问题:即已知起始结点,求最短路径的问题。

(2)确定终点的最短路径问题:与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同,在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

(3)确定起点终点的最短路径问题:即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。

(4)全局最短路径问题:求图中所有的最短路径。

用于解决最短路径问题的算法被称做最短路径算法有时被简称作路径算法最常用的路径算法有:Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。

本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。

  Dijkstra算法

2.1  Dijkstra算法

Dijkstra算法是典型最短路算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。

2.2  Dijkstra算法思想

Dijkstra算法思想为:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点vS中各顶点的最短路径长度不大于从源点vU中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2.3  Dijkstra算法具体步骤

1)初始时,S只包含源点,即S=,v的距离为0U包含除v外的其他顶点,U中顶点u距离为边上的权(若vu有边)或)(若u不是v的出边邻接点)。

2)从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是vk的最短路径长度)。

3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点uu U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

4)重复步骤(2)和(3)直到所有顶点都包含在S中。

2.4  Dijkstra算法举例说明

如下图,设A为源点,求A到其他各顶点(BCDEF)的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离,即权值。(注:此图为随意所画,其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等)

图一:Dijkstra无向图

 

算法执行步骤如下表:【注:图片要是看不到请到相册--日志相册中,名为“Dijkstra算法过程的图就是了】

 

步骤

S集合中

U集合中

1

选入A,此时S=<A>

此时最短路径A→A=0

A为中间点,从A开始找

U=<BCDEF>

A→B=6A→C=3

A→其它U中的顶点=∞

发现A→C=3权值为最短

2

选入C,此时S=<AC>

此时最短路径A→A=0A→C=3C为中间点,

A→C=3这条最短路径开始找

U=<BDEF>

A→C→B=5(比上面第一步的A→B=6要短)

此时到D权值更改为A→C→B=5

A→C→D=6

A→C→E=7

A→C→其它U中的顶点=∞,发现A→C→B=5权值为最短

3

选入B,此时S=<ACB>

此时最短路径A→A=0A→C=3A→C→B=5

B为中间点

A→C→B=5这条最短路径开始找

U=<DEF>

A→C→B→D=10(比上面第二步的A→C→D=6要长)

此时到D权值更改为A→C→D=6

A→C→B→其它U中的顶点=∞,发现A→C→D=6权值为最短

4

选入D,此时S=<ACBD>

此时最短路径A→A=0A→C=3A→C→B=5A→C→D=6

D为中间点,

A→C→D=6这条最短路径开始找

U=<EF>

A→C→D→E=8(比上面第二步的A→C→E=7要长)此时到E权值更改为A→C→E=7A→C→D→F=9

发现A→C→E=7权值为最短

5

选入E,此时S=<ACBDE>

此时最短路径A→A=0A→C=3A→C→B=5A→C→D=6A→C→E=7,以E为中间点,

A→C→E=7这条最短路径开始找

U=<F>

A→C→E→F=12(比上面第四步的A→C→D→F=9要长)此时到F权值更改为A→C→D→F=9

发现A→C→D→F=9权值为最短

6

选入F,此时S=<ACBDEF>

此时最短路径A→A=0A→C=3

A→C→B=5

A→C→D=6

A→C→E=7A→C→D→F=9

U集合已空,查找完毕。

 

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