原理：谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
其中的最优是指最优目标函数不同，可以是割边最小分割——如图1的Smallest cut(如后文的Min cut)， 也可以是分割规模差不多且割边最小的分割——如图1的Best cut(如后文的Normalized cut)。
这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵(拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
1理论基础
对于如下空间向量item-user matrix：
如果要将item做聚类，常常想到k-means聚类方法，复杂度为o(tknm)，t为迭代次数，k为类的个数、n为item个数、m为空间向量特征数：
1 如果M足够大呢？
2 K的选取？
3 类的假设是凸球形的？
4 如果item是不同的实体呢？
5 Kmeans无可避免的局部最优收敛？
……
这些都使常见的聚类问题变得相当复杂。
1.1图的表示
如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(E)，这样便得到我们常见的图的概念。
对于图的表示(如图2)，常用的有：
邻接矩阵：E，eij表示vi和vi的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。
Laplacian矩阵：L = D–E， 其中di (行或列元素的和)，如图2-3。
1.2特征值与L矩阵
先考虑一种最优化图像分割方法，以二分为例，将图cut为S和T两部分，等价于如下损失函数cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的边的加权和)。
假设二分成两类，S和T，用q(如公式2所示)表示分类情况，且q满足公式3的关系，用于类标识。
那么：
其中D为对角矩阵，行或列元素的和，L为拉普拉斯矩阵。
由：
有:
1、L为对称半正定矩阵，保证所有特征值都大于等于0；
2、L矩阵有唯一的0特征值，其对应的特征向量为1。
离散求解q很困难，将cut(S,T)，巧妙地转换成拉普拉斯矩阵特征值(向量)的问题，将离散的聚类问题，松弛为连续的特征向量，最小的系列特征向量对应着图最优的系列划分方法。剩下的仅是将松弛化的问题再离散化，即将特征向量再划分开，便可以得到相应的类别，如将图3中的最小特征向量，按正负划分，便得类{A,B,C}和类{D,E,F,G}。在K分类时，常将前K个特征向量，采用kmeans分类。
1、此处虽再次提到kmeans，但意义已经远非引入概念时的讨论的kmeans了，此处的kmeans，更多的是与ensemble learning相关，在此不述；
2、k与聚类个数并非要求相同，可从第4节的相关物理意义中意会；
3、在前k个特征向量中，第一列值完全相同(迭代算法计算特征向量时，值极其相近)，kmeans时可以删除，同时也可以通过这一列来简易判断求解特征值(向量)方法是否正确，常常问题在于邻接矩阵不对称。
2.1 Min cut方法
如2.2节的计算方法，最优目标函数如下的图cut方法：
计算方法，可直接由计算L的最小特征值(特征向量)，求解（注意：这里的最小特征值，是按照绝对值还是真实值？不会L的所有特征值都是大于零吧？？？？？先不管，还真的是诶，L是半正定，所有特征值都非负，哇哇哇！！！！）
2.2 Nomarlized cut方法
Normarlized cut，目标是同时考虑最小化cut边和划分平衡，以免像图1中的cut出一个单独的H。衡量子图大小的标准是：子图各个端点的Degree之和。
2.3 Ratio Cut方法(balabala)
2.4 Normalized相似变换
归一化的L矩阵有：
因而L’的最小特征值与D-(1/2)E D-(1/2)的最大特征值对应。
而计算的L’相比计算L要稍具优势，在具体实用中，常以L’替代L，但是min cut和ratio cut不可以。
PS：这也是常常在人们的博客中，A说谱聚类为求最大K特征值(向量)，B说谱聚类为求最小K个特征值(向量的原因)。
3谱聚类步骤
第一步：数据准备，生成图的邻接矩阵；
第二步：归一化普拉斯矩阵；
第三步：生成最小的k个特征值和对应的特征向量；（why？还是不去瞎解释了吧）
第四步：将特征向量kmeans聚类(少量的特征向量)；
%------------------------以上面的总结为主（下面的没有怎么整理）---------------------------
