傅里叶变换

1，二维离散傅里叶变换公式的理解，DFT公式中，我们可以将指数项扩展为正弦项和余弦项的形式，

所以从公式的角度可以理解F（0,0）即傅里叶变换的直流分量是最大值，这也就是为什么居中二维傅里叶变换频谱图都是中心较亮。（图a为原始图像，图b为对数变换后增强的DFT图像）

(图 a)

(图 b)

2，图像的平移对傅里叶频谱是没有影响的，那是因为离散傅里叶变换的计算过程是累积计算的过程，在周期不变的情况下，对于图像的平移是不会影响最后累积计算的结果的。（图c是对图a的平移）

（图 c)

(图 d)

3.对频域滤波器的理解，低通滤波（包含理想低通滤波、n阶巴特沃兹低通滤波、高斯低通滤波等），高通滤波（包含包含理想高通滤波、n阶巴特沃兹高通滤波、高斯高通滤波等），低通滤波是保持傅里叶变换的低频，削弱高频会使图像变得模糊，相反的高通滤波是保持傅里叶变换的高频，削弱低频，会使图像变得清晰。但从滤波器的定义公式可以简单理解设置的截止频率D0的作用，就是将大于截止频率或低于截止频率的部分*0或*1来实现的，但要了解为什么会消弱了低频，保持高频就能将图像变得清晰，还要理解从原始图像到傅里叶变换的过程，简单地讲一下傅里叶变换的原理，对于一维傅里叶变换，就是将一个一维空间的函数曲线分解出一个周期内的不同的正弦、余弦曲线，而这些曲线有不同的频率和幅度，以频率为横轴，幅度为纵轴，就可以得到这个一维空间函数对应的频谱图，扩展为二维空间，就是两个频率方向（U,V）幅度的叠加而成的频谱图。理解了这些，我们可以知道对于图像中的平坦部分，就是梯度值很小的部分所产生的曲线为接近于DC的直流低频部分，而对于图像的轮廓附近即梯度较大的部分就会产生频率较高的高频部分，也就可以理解为什么保持高频，削弱低频图像变清晰，削弱高频，保持低频图像变模糊了。为了更明白这个道理，我还将低通、高通滤波后的图像再做一次DFT变换，观察频谱图中低频及高频部分的变换是与前面讲到的逻辑是一致的。

下面3幅图依次为原始图像、高通滤波后效果图、低通滤波后效果图

下面3幅图依次为原始图、高通滤波、低通滤波图对应的频谱图

4.Matlab 中频域滤波dftfilt步骤：

step1.使用函数paddedsize获得填充参数；

step2.得到使用填充的傅里叶变换

step3.生成一个大小为PQ(1)*PQ(2)的滤波函数H（注意滤波与变换的居中fftshit，要同步）

step4.将变换乘以滤波函数

step5.获得傅里逆变换的实部

step6.将左上部矩形修剪为原始大小