张量分析学习体会

张量分析学习体会（2019年6月30日-2019年7月9日）

回顾这段时间学习《张量分析》的相关内容，并写下学习体会

学习方式包括看视频（B站 https://www.bilibili.com/video/av8316411/?p=74&t=260 《张量分析》复旦大学课程），阅读郭仲衡先生的著作《张量》。

主要学习内容如下，

1. 张量的表示

Q1：张量是什么？

张量代表一种多重映射。例如，0阶张量代表标量，1阶张量代表向量，2阶张量代表矩阵，更高阶张量可以理解成高维矩阵。

Q2：如何理解协变基 与逆变基

• 具备线性无关性和生成性，都可以视为内积空间的一组基底。

• 协变基与逆变基一般是同时出现，它们满足对偶关系 ，也就是著名的Kronecker积。

• 协变基和逆变基可以相互转化。

Q3：什么是张量分量？

• 张量作用于一组基底后的得到的常数称为张量分量

• 任意的r阶张量都可以表示成简单张量和张量分量乘积的形式

• 基于相同的基，张量的不同的张量分量可以通过度量联系起来

• 基于不同的基，张量的不同的张量分量可以通过坐标变换联系起来

2. 张量的代数运算

Q1：什么是张量积（也称张量并）？

• m阶张量和n阶张量通过某种法则生成(m+n)阶张量的运算；

• 这种法则可以表示成如下公式：

Q2：什么是张量的缩并？缩并有什么意义？

• 缩并是一种将r()阶张量降2阶的映射

• 利用缩并运算进一步引出张量的点乘；

• 缩并运算包括简单张量缩并、一般张量缩并，全缩并；

Q3：什么是张量的点乘？

• 张量点乘是指m阶张量和n阶张量通过某种法则生成一个低于(m+n)阶张量的运算；

• 两个张量的点乘可以通过缩并运算定义

• 点乘运算包括1点乘（降低2阶），2点乘（降4阶），e点乘（降2e阶），全点乘（生成0阶）；

3. 置换运算与置换算子，对称算子与反对称化算子

Q1：什么是置换运算？

• 已知集合K，改变元素顺序生成一个新的排列的运算称为置换；

• 两个置换运算可以复合；

Q2：置换算子的定义

参考郭仲衡《张量》P33

Q3：对称算子

• 基于对称张量和反对称张量提出的概念

• 能将任意r阶张量转换为对称张量的一种映射

Q4：反对称化算子

• 能将任意r阶张量转换为反对称张量的一种映射

4. 微分同胚

即在物理中的曲线坐标系的概念

Q1：微分同胚需要满足的三个条件：

• 物理区域和参数区域的开集性；

• 物理区域和参数区域的一一映射关系

• 映射的可微性

Q2：引入微分同胚的意义

• 将几何形状不规则的物理区域变换为几何形态规则的参数区域

• 利用曲线坐标系自身诱导的局部基（协变基和逆变基）展开控制方程，得到用局部基表示的方程；

5. 局部基与标架运动方程

在引入微分同胚的基础上，定义局部基。

Q1：局部协变基、局部逆变基是如何定义的？

已知有参数场到物理场的一一映射

局部基协变基可以表示为：

局部逆变基和局部协变基满足对偶关系:

局部逆变基可以表示为：

Q2：什么是标架运动方程？

标架运动方程描述的是局部基相对于某一坐标分量的变化率。

Q3：什么是Christoffel符号？

根据的形式可知，它们可以代表向量值映射，因此可以进一步用局部基表示，以为例，

若用逆变基表示：

称为第一类Christoffel符号；

若用协变基表示：

称为第二类Christoffel符号。

6. 度量张量与Eddington****张量

Q1：什么是度量张量？

• 具有如下形式的张量称为度量张量：
  

• 度量张量也成为单位仿射量，与单位矩阵作用相同。

Q2：什么是Eddington张量？

• Eddington张量具有如下形式：
  
  其中，
  

7. 张量场的可微性

Q1：张量场的偏导数

严格根据微积分学的定义可以求出。以三阶张量为例:

Q2：张量场的梯度

严格根据微积分学的定义可以求出。以三阶张量为例：

值得注意的是，梯度算子作用于后将得到一个四阶张量。（可以这样理解，数量值函数的梯度是向量，向量值映射的梯度是Jacobian矩阵，类比可知三阶张量的梯度是四阶张量）

Q3：张量场的方向导数

张量场的梯度与方向向量做内积。

8. 场论恒等式

见笔记

9. 非完整基理论

Q1：完整基理论与非完整基理论有什么区别？

• 完整基是由曲线坐标系诱导的；

• 非完整基不是由曲线坐标系诱导的，但是它们是完全的，能作为内积空间V的一组基底。

Q2：常用的非完整基常取如下形式：

将正交的完整基单位化，令其为非完整基。

总结

整个学习过程耗时8天。其中5天看视频，完成74P，14小时，视频内容包括：张量的表示、张量基本代数运算、置换运算与置换算子、反对称化算子、向量值映射的微分、局部基与标架运动方程、度量张量与Eddington张量，张量范数，张量场偏导数、张量场梯度与方向导数、场论恒等式、非完整基理论。看书2天，主要是第二章张量代数大部分内容和第三章仿射量前4节内容。写小节1天。

基本达到学习目的（对张量有了大致了解），但是总体感觉效果一般。理由是耗费时间太长，并且仅限于理论，在应用方面尚未涉及，因此对所学内容的理解较浅。 今后对这种以初步理解为目的的学习，时间不宜耗费过多，一般以2~4天为宜。尽管本次的《张量分析》较难，但时间应控制在5天以内。

策略总结如下：

1）文献资料调研：看相关论坛帖子，找参考资料，找学习视频，确定学习内容；

2）学习内容精炼：根据找到的学习资料进行精炼，确定最佳的学习资料；

3）合理安排时间：根据学习内容的多少和难度，确定集中学习时间；

4）按计划执行