同济高等数学第七版1.3习题精讲

同济高等数学第七版1.3习题精讲

1.对图1-8所示的函数，求下列极限，如果极限不存在，说明理由。

(1);

(2);

(3).

解：

(1);

(2);

(3)不存在，因为左极限是-1，右极限是1.

2.对图1-9所示的函数,下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？

(1)不存在；

(2);

(3);

(4);

(5)不存在。

(6)对每个,存在。

解：(1)错，存在极限值为0.

(2)对。

(3)错误。函数极限与函数取值无关。

(4)错误，左极限是-1，右极限是0.

(5)对。

(6)对。

3.对图1-10所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错误的？

(1)；

(2)不存在；

(3);

(4);

(5)；

(6)；

(7)；

(8)。

解：(1)对。

(2)对。

(3)对。

(4)错。

(5)对。

(6)对。

(7)对。

(8)错。

4.求,当时的左、右极限，并说明它们在是的极限是否存在。

解：,,所以

。

然而，,所以在是的极限不存在。

5.根据函数极限的定义证明：

(1);

(2);

(3);

(4).

解：(1)证明：对于任意小的,欲使得 成立，只需即可。故取 .于是对于任意小的，总存在 ,当时，有恒成立，即该极限收敛。

(2)证明：对于任意小的,欲使得 成立，只需即可。故取 .于是对于任意小的，总存在 ,当时，有恒成立，即该极限收敛。

(3)证明：对于任意小的,欲使得 成立，只需即可。故取 .于是对于任意小的，总存在 ,当时，有恒成立，即该极限收敛。

(4)证明：对于任意小的,欲使得 成立，只需即可。故取 .于是对于任意小的，总存在 ,当时有恒成立，即该极限收敛。

6.根据极限定义证明：
(1);
(2)。

证明：(1)对于任意小的,欲使得 成立，只需即可。故取 .于是对于任意小的，总存在 ,当时,有恒成立，即该极限收敛。

(2)对于任意小的,欲使得 成立，只需……即可。

晕啊，不好计算关系了，此时需要放缩一下，不要搞乱符号的方向。再来一次。

对于任意小的,欲使得 成立，只需即可。故取 .于是对于任意小的，总存在 ,当时,有恒成立，即该极限收敛。

后续节中会学习到一个新的方法，有界量与无穷小量之积仍是无穷小。就是直接计算出极限。但本题要求是用极限定义证明。

7.当时，。问等于多少，使当时，?

解：不妨假设,此时介于1到3之间，等一下会用到。其实假设小于多少都可以，但是一般不假设很大的数，因为是趋向于2的。这一步的目的是为了后续的求解数字。根据所假设不同求出的答案也不同。

开始解答：要想使得,就相当于要，即。哇，这个不就是上面那个吗。

8.当时，，问等于多少，使当时，?

解：要想使得，即，得到,这个20刚好就是上面所求的.

9.证明函数当时的极限为0.

证明：对于任意小的,欲使得 成立，只需即可。故取 .于是对于任意小的，总存在 ,当时，有恒成立，即该极限收敛。

10.证明：若及时，函数的极限都存在且都等于,则。

证明：，等价于对于任意小的,存在，当时，有成立。

，等价于对于任意小的,存在，当时，有成立。

取,于是当时，有成立。此时就已经满足了成立的条件。

11.根据函数极限的定义证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。

证明：先证明必要性。如果，说明对于任意小的,存在，当时，有成立。即：当时有成立，右极限存在。或时，也有成立，左极限存在。

充分性。如果左极限存在，说明对于任意小的,存在，当时，有成立。如果右极限存在，说明对于任意小的,存在，当时，有成立。取，则当时，有成立。

12.试给出时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明。

证明：如果，即对于任意小的,存在，当时，有成立。为说明方便，不妨设,则，记。定理得证。