前言——主要内容
这篇笔记是StatQuest系列视频教程的第38小节，在此备注一下，在StatQuest系列视频中，从38小节到57小节是机器学习方面的内容。第38小节的内容是LDA，全称是Linear Discriminant Analysis，中文翻译为线性判别分析，这种方法能够对一些数据进行分类，对数据分类的其它方法还是PCA，t-SNE，SVM。
LDA简介
我们先来看一个场景。
例如，我们开发了一种抗肿瘤药物，这个药物对于某些患者的治疗效果很好，但是对某些患者则有很大的副作用。此时，我们就面临了一个问题，这些药物如何给患者吃？
对于这样的问题，一个简单的解决思路就是，我们把这两类患者（一类药物有效的患者，一类药物有副作用的患者）的基因检测一下，或许他们的基因表达能够为我们合理用药提供决策依据，如下所示：
由于患者表达的基因很多，我们先从最简单的一个基因X谈起。我们以基因X的转录水平为依据，观察基因X在这两类患者体内的转录情况，如下所示：
其中，绿色的点表示患者的基因X转录水平比较低，药物疗效好；红点表示患者的基因X转录水平高，药物疗效差。对于左侧的大部分患者来说，确实如此，如下所示：
但是，让人比较纠结的是，中间这些患者，他们的基因X转录水平处于中间水平，药物效果也不明，如下所示：
如果不考虑患者的基因X转录的中间水平，也不考虑药物对这些患者的治疗情况，总体上来说，仅基因X还是能够为我们提供一定的决策依据的，虽然它也不是特别完美。
但是，如果我们想要更好地区分哪些患者服用药物，哪些患者不服用药物，怎么办？
其实这个里，可以再加入一个基因，看一下两个基因能否更好地为选择患者使用药物提供依据，如下所示：
我们再找的这个基因暂且把它称为基因Y，把这两个基因放到坐标轴上，我们可以发现，用一条虚线可以比较好地把这两类患者划分开，如下所示：
此时，我们还可以再进一步，用3个基因看一下，效果会不会更好，此时我们把这第3个基因暂且叫做基因Z，此时就变成了三维的坐标系，如下所示：
上面的这个坐标系是三维的，其中我们发现有的点大，有的点小，这个好理解，比较小的点离我们比较远，大的点离我们比较近，此时我们可以通过一个平面把这两类患者分开，如下所示：
那我们再进一步，能否用4个基因把这两类患者区分开来？如下所示：
不过问题是，我们无法直观地绘制出四维坐标，只能靠想了。如果我们学过PCA，那我们就会想到，此时我们面临的问题与PCA分析的问题比较类似（下一篇笔记会讲PCA）。
PCA主要是通过找出哪些变异最大的基因来实现降维的，当我们有多维数据时，使用PCA能够很方便地将多维数据降为三维或二维数据（例如绘制成XY散点图）。但是，我们在这个案例中，我们对哪些变异大的基因没兴趣，相反我们使用LDA时，所关注的是怎么能够最大程度地把这两类患者分开，为我们的给药提供决策依据。LDA虽然与PCA有点类似，但是LDA是对已知分类进行最大程度的区分，而PCA则是对未知分类进行降维，如下所示：
再来看一下最后一段话，它讲的是LDA与PCA的区别，如下所示：
为了更深入地理解LDA与PCA，可以搜索一些有关有监督学习和无监督学习的资料看一下。
一个简单的案例
在这个案例中，我们还是以前面的案例为基础，将2维的坐标（X基因与Y基因构成的坐标）降为1维的坐标，如下所示：
那么此时问题来了，我们怎么去降维？
首先，看一个简单粗暴的降维方法，我们不要基因Y，只要基因X，直接把它们投射到X轴上，这就像有一个压力，从上到下，直接把Y轴拍扁一样，如下所示：
这种方法非常粗糙，它无法区分出这两类患者，因为它忽略了基因Y提供的有用信息，如果我们忽略基因X，把所有的点投射到Y轴，也是如此，如下所示：
此时，我们就可以使用LDA这种方法，把二维坐标降为一维坐标的同时，还能同时保留基因Y与基因X的信息，如下所示：
LDA会计算出一个新的坐标轴，然后将所有的点都投射到这个新的坐标轴上去，并能够很好地把这两类患者进行区分，如下所示：
结果就是像这样：
此时又有问题了，LDA是如何做到的？
LDA的原理
LDA生成的这个新坐标轴要同时满足两个标准：
第一，两类患者的均值要足够远（也就是下图中分子要尽量大）；
第二，两类患者的变异要小（下图中分母尽量小），如下所示：
通常，我们会将两个分类的均值差的平方称为d，如下所示：
再看一个案例，这个案例主要用于说明两个分类的均值距离与散点（就是标准差）的重要性，如下所示：
在上面的这个案例中，我们发现，从x轴的角度来看，这两类数据有部分重合，如果我们只考虑这两类数据均值之间的距离的话，当这个距离最大时，那么新生成的坐标轴就像下图中右上的角的样子，它的区分度不太好，中间有两个数据是重叠的，如果我们即考虑均值距离又考虑数据点的离散程度，那么我们新生成的坐标轴，让这两类数据投射到上去，就会得到很好的区分，如下图右图下的样子：
如果我们有超过2个基因（也就是超过2维的数据）时，处理这些数据的方法还是相同的，创建的新坐标轴要使得这两类数据的均值距离最大，同时使数据点的离散程度最小，如下所示：
我们看一下LDA处理3个基因的情况，如下所示：
上图中的新坐标轴就是通过LDA方法创建的，此时，将所有的数据都投射到这个坐标轴上，它们的区分度就很好了，即保证了两类数据均值的间距最大，又最大程度地降低了数据的变异程度，如下所示：
复杂情况
如果我们有3个分类，就像下面的这个样子，我们有3个分类，只有2个基因，如何做？
首选，我们要计算第一差分（first difference），它是一个点，这个点是所有点的中心，如下所示：
然后计算这个点与3个分类的中心的点（不太理解这个中心点是均值，还是中位数）的距离，如下所示：
此时，再保证这三个距离最大，同时保证这三个分类投射到新的坐标轴上的点的离散程度最小，如下所示：
换成公式就是下面的样子：
这个公式与前面的基本上一样，唯一的区别就是多了一个新的分类。接着，我们要找第二差分（second difference），这是LDA要创建的用于区分数据的2个坐标轴，这是因为三个分类的3个中心点能够定义一个平面，此时，我们绘制出两条线（也就是新的坐标系）来优化对这三个分类的分类，如下所示：
由于我们只使用了2个基因，因此绘制这个新坐标系很容易，如下所示：
但是，如果我们有10000个基因的话，就意味着我们需要把这10000维降为两组，由于我们前面提到过，用2维坐标就能区分出3个分类，那么，我们如果有10000个基因，也能把它们降为2维的话，就很不错了，如下所示：
下图是用LDA实现的降维结果，如下所示：
虽然这种降维还不是太完美，很容易发现有一些分类还存在重叠，如下所示：
但是，我们比较一下LDA和PCA的降维效果，显然LDA已经做得更好一些了，如下所示：
此时，我们再来看一下PCA与LDA的相似性。
第一，在新的坐标轴上，它们都是按重要性进行排序的。其中PC1（PCA创建的第1个新坐标轴）能解释数据的最大变异，PC2（第2个新坐标轴）能解释数据次大的变异。而在LDA中，LD1（LDA创建的第1个坐标轴）能解释分类之间的最大变异，而LD2其次解释次大的变异。
第二，这两种方法都能够让你更观察哪些基因参与了分类，并形成了新的坐标，如下所示：
总结
LDA类似PCA，它们都是降维方法。PCA研究的是某个变量（这里指的是基因）的最大变异。LDA则是用这些变量（这里指的是基因）能够更大程度地区分已知分类。