组合数(Lucas定理) + 快速幂 --- HDU 5226 Tom and matrix

 Tom and matrix

Problem's Link:   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226

---

 

Mean: 

题意很简单，略。

 

analyse:

直接可以用Lucas定理+快速幂水过的，但是我却作死的用了另一种方法。

方法一：Lucas定理+快速幂水过

方法二：首先问题可以转化为求(0,0)，(n,m)这个子矩阵的所有数之和。画个图容易得到一个做法，对于n<=m，答案就是2^0+2^1+...+2^m=2^(m+1)-1，对于n>m，答案由两部分构成，一部分是2^(m+1)-1，另一部分是sigma i:m+1->n f[i][m]，f[i][m]表示第i行前m列的数之和，f数组存在如下关系，f[i][m]=f[i-1][m]*2-C[i-1][m]，f[m][m]=2^m。还有另一种思路：第i列的所有数之和为C(i,i)+C(i+1,i)+...+C(n,i)=C(n+1,i+1)，于是答案就是sigma i:0->min(n,m) C(n+1,i+1)。

Lucas定理：由于题目给定的模是可变的质数，且质数可能很小，那么就不能直接用阶乘和阶乘的逆相乘了，需要用到Lucas定理，公式：C(n,m)%P=C(n/P,m/P)*C(n%P,m%P)，c(n,m)=0(n<m)。当然最终还是要预处理阶乘和阶乘的逆来得到答案。复杂度O(nlogP+nlogn)

Time complexity: O(n)

 

Source code: 

Lucas定理+快速幂 

/*

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* Verdict: Accepted

* Submission Date: 2015-05-21-23.28

* Time: 0MS

* Memory: 137KB

*/

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <set>

#include <string>

#include <stack>

#include <cmath>

#include <climits>

#include <map>

#include <cstdlib>

#include <iostream>

#include <vector>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#define  LL long long

#define  ULL unsigned long long

using namespace std;



const int maxn=100010;

struct cell

{

        int x,y;

        bool operator<(cell c) const

        {

                return x==c.x?(y<c.y):(x<c.x);

        }

}p[2];

LL mod;

LL Pow(LL a,LL b)

{

    LL ret=1;

    a%=mod;

    while(b)

    {

        if(b&1) ret=ret*a%mod;

        a=a*a%mod;

        b>>=1;

    }

    return ret%mod;

}

namespace lucas

{

        LL A[maxn],inv[maxn];

        void init()

        {

            A[0]=1,A[1]=1;

            inv[1]=1;inv[0]=1;

            for(int i=2;i<maxn;i++)

            {A[i]=A[i-1]*(LL)i%mod;inv[i]=Pow(A[i],mod-2);}

        }

        LL Lucas(LL a,LL b)

        {



            if(a<b) return 0;

            if(a<mod&&b<mod) return (A[a]*inv[b]%mod)*inv[a-b]%mod;

            return Lucas(a/mod,b/mod)*Lucas(a%mod,b%mod)%mod;

        }

}

using namespace lucas;



int main()

{

        ios_base::sync_with_stdio(false);

        cin.tie(0);

        while(cin>>p[0].x>>p[0].y>>p[1].x>>p[1].y>>mod)

        {

                if(p[0].y>p[0].x&&p[1].y>p[1].x&&p[0].y>p[1].x) {printf("0\n");continue;}

                init();

                sort(p,p+2);

                if(!(p[0].x<=p[1].x && p[0].y<=p[1].y))

                {

                        int x1=p[0].x,y1=p[0].y,x2=p[1].x,y2=p[1].y;

                        p[0].x=x1,p[0].y=y2,p[1].x=x2,p[1].y=y1;

                }

                LL sta=p[0].x,en=p[1].x,h=p[0].y,ans=0;

                while(h<=p[1].y && sta<=en )

                {

                        if(sta<h) sta=h;

                        ans=(ans+Lucas(en+1,h+1)-Lucas(sta,h+1)+mod)%mod;

                        h++;

                }

                printf("%lld\n",ans);



        }

        return 0;

}

/*



*/

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方法二：

/*

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* Verdict: Accepted

* Submission Date: 2015-05-21-02.58

* Time: 0MS

* Memory: 137KB

*/

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <set>

#include <string>

#include <stack>

#include <cmath>

#include <climits>

#include <map>

#include <cstdlib>

#include <iostream>

#include <vector>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#define  LL long long

#define  ULL unsigned long long

using namespace std;

struct cell

{

        int x,y;

        bool operator<(cell c) const

        {

                return x==c.x?(y<c.y):(x<c.x);

        }

}p[2];

LL mod;

LL inv[101000],A[101000];

inline LL Pow(LL a,LL b)

{

    LL ret=1;

    a%=mod;

    while(b)

    {

        if(b&1) ret=ret*a%mod;

        a=a*a%mod;

        b>>=1;

    }

    return (ret-1)%mod;

}



void init()

{

    A[0]=1,A[1]=1;

    inv[1]=1;inv[0]=1;

    for(int i=2;i<101000;i++)

    {A[i]=A[i-1]*(LL)i%mod;inv[i]=Pow(A[i],mod-2);}

}

LL Lucas(LL a,LL b)

{

    if(a<b) return 0;

    if(a<mod&&b<mod) return (A[a]*inv[b]%mod)*inv[a-b]%mod;

    return Lucas(a/mod,b/mod)*Lucas(a%mod,b%mod)%mod;

}



inline LL Pow(LL b)

{

        b=b+1;

        if(b<0) return 0;

    LL a=2;

    LL ret=1;

    a%=mod;

    while(b)

    {

        if(b&1) ret=ret*a%mod;

        a=a*a%mod;

        b>>=1;

    }

    return (ret-1)%mod;

}





inline int calc_Matrix(int x,int y)

{

        if(x<0||y<0) return 0;

        if(x<=y)

                return Pow(x);

        else

        {

                LL sum1=Pow(y);

                LL tmp=Pow(y)-Pow(y-1);

                LL sum2=0;

                for(int i=y+1;i<=x;++i)

                {

                      tmp=tmp*2-(int)Lucas((LL)i-1,(LL)y);

                      tmp%=mod;

                      sum2+=tmp;

                      sum2%=mod;

                }

                return (sum1+sum2)%mod;

        }

}

int main()

{

        ios_base::sync_with_stdio(false);

        cin.tie(0);

        while(cin>>p[0].x>>p[0].y>>p[1].x>>p[1].y>>mod)

        {

                if(p[0].y>p[0].x&&p[1].y>p[1].x&&p[0].y>p[1].x) {printf("0\n");continue;}

                init();

                sort(p,p+2);

                if(!(p[0].x<=p[1].x && p[0].y<=p[1].y))

                {

                        int x1=p[0].x,y1=p[0].y,x2=p[1].x,y2=p[1].y;

                        p[0].x=x1,p[0].y=y2,p[1].x=x2,p[1].y=y1;

                }

                cout<<(calc_Matrix(p[1].x,p[1].y)-calc_Matrix(p[0].x-1,p[1].y)-calc_Matrix(p[1].x,p[0].y-1)+calc_Matrix(p[0].x-1,p[0].y-1))%mod<<endl;

        }

        return 0;

}

/*



*/

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