GNN之GCN之谱图卷积

Thomas N.Kipf et.al. 在论文《Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks》中提到：

从本质上说，GCN是谱图卷积的一阶局部近似。

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那么，什么是谱图卷积呢？

首先，来看图上的谱卷积。

图上的谱卷积可以定义为：信号 与滤波器  在傅里叶域的乘积：

,

其中， 为归一化拉普拉斯  的特征向量矩阵（即谱矩阵），其中  为相应的特征值矩阵（对角矩阵）， 为 的图傅氏变换。在这里，可以将  看作是  特征向量的函数，也就是  。

 

对于图谱卷积来说，其计算代价无疑是很大的：

（1）使用  进行矩阵乘法运算的计算复杂度为 ;

（2）计算大图的拉普拉斯矩阵 的特征分解需要很大的计算量。

针对这一问题，文中采用了切比雪夫多项式(Chebyshev polynomial)  的  阶截断来获得对  的近似：

,

其中，  为经 的最大特征值（即谱半径）缩放后的特征向量矩阵。

表示一个切比雪夫向量。切比雪夫多项式使用递归的方式进行定义：

，其中，  。

 

此时，可以使用近似的  替代原来的  ，此时，可以得到：

,

而  是  的  阶多项式，且有 ，其中，。这样，就得到了下面的公式：

。

 

通过这一近似，我们可以发现，谱图卷积不再依赖于整个图，而只是依赖于距离中心节点  步之内的节点（即  阶邻居）。

Defferrard et al.使用这一概念定义了图上的卷积神经网络。