3.7栈与递归（下）----递归与非递归转换

3.7栈与递归（下）----递归与非递归转换

1、递归算法到非递归算法的转换

递归算法具有两个特性：
①递归算法是一种分而治之、把复杂问题分解为简单问题的求解问题方法， 对求解某些复杂问题，递归算法的分析方法是有效的。
②递归算法的效率较低。 为此，在求解某些问题时，希望用递归算法分析问题，用非递归算法求解具体问题。

（1）消除递归的原因：

• 其一，有利于提高算法时空性能，因为递归执行时需要系统提供隐式栈实现 递归，效率较低。
• 其二，无应用递归语句的语言设施环境条件，有些计算机语言不支持递归功 能，如 FORTRAN 语言中无递归机制 。
• 其三，递归算法是一次执行完，中间过程对用户不可见，这在处理有些问题时不合适，也存在一个把递归算法转化为非递归算法的需求。 理解递归机制是掌握递归程序技能必要前提。消除递归要基于对问题的分析，常用的有两类消除递归方法。
• 一类是简单递归问题的转换，对于尾递归和单向递归的算法，可用循环结构的算法替代。
• 另一类是基于栈的方式，即将递归中隐含的栈机制转化为由用户直接控制的明显的栈。利用堆栈保存参数，由于堆栈的后进先出特性吻合递归算法的执行过 程，因而可以用非递归算法替代递归算法。

（2） 简单递归的消除

在简单情况下，可以将递归算法转化为线性操作序列，直接用循环实现

①单向递归

• 单向递归是指递归函数中虽然有一处以上的递归调用语句，但各次递归调用语句 的参数只和主调用函数有关，相互之间参数无关，并且这些递归调用语句处于算法的最后。

计算斐波那契数列的递归算法如下：

 Fib(int n)      
{        
	if（n= =0||n= =1） 
		return n;        /* 递归出口 */        
	else  
		return Fib(n-1)+Fib(n-2);      /* 递归调用 */      
 } 

上图中 15 个点表示 15 次运算，如果合并重合点，按图 3.13 所示粗黑线，用循环实现计算，仅需要 5 次运算。

计算斐波那契数列的非递归算法如下：

int Fib(int n) 
{ 
	int  x, y, z; 
	if（n= =0||n= =1）
		return n;    /*计算 Fib (0)或 Fib(1) */         
	else 
	{  
		x=0, y=1;             /* x= Fib (0)  y= Fib (1) */ 
		for(i=2; i<= n; i++ ) 
		{ 
			z=y;      /*  z= Fib (i-1)  */         
			y=x+y;    /*  y= Fib (i-1)+ Fib (i-2)  求 Fib (i) */         
			x=z;      /*  x= Fib (i-1) */ 
		} 
	return y ; 
	} 
} 

用循环方式计算 Fib(n)时，Fib(i) (i=2…n)是在已计算过 Fib (i-1)与 Fib (i-2)的基础上进行的，无重复计算，时间复杂度为 O(n)。

虽然非递归算法没有递归算法直观，但时空耗费远少于递归算法。

而用递归方式计算 Fib (n)时，必须计算 Fib (n-1)与 Fib (n-2)，而某次递归计算得出的结果，如 Fib (3)无法保存，下一次要用到时还需要重新递归计算，因此其时间复杂度为 O(2n)。（n次方）

②尾递归

尾递归是指递归调用语句只有一个，而且是处于算法的最后，尾递归是单向递归的特例。

以阶乘问题的递归算法 Fact(n)为例讨论尾递归算法的运行过程。为讨论方 便，列出阶乘问题的递归算法 Fact(n)，并简化掉参数 n 的出错检查语句，改写递归调用语句的位置在最后，算法如下：

long Fact(int n) 
{         
	if(n= =0)  
		return 1;         
	return  n*Fact(n-1); 
} 

分析上述算法可以发现，当递归调用返回时，返回到上一层递归调用的下一 语句，而这个返回位置正好是算法的末尾。

也就是说，以前每次递归调用时保存的返回地址、函数返回值和函数参数等实际上在这里根本就没有被使用。

因此， 对于尾递归形式的递归算法，不必利用系统的运行时栈保存各种信息。尾递归形式的算法实际上可变成循环结构的算法。

循环结构的阶乘问题算法 Fact(n)如下：

long Fact (int n) 
{ 
	int fac=1;     
	for(int i=1;i<=n;i++)   /*依次计算 f(1)… f(n)*/    
		fac=fac* i;        /* f(i)= f(i-1)*i */         
	return fac; 
}