最小生成树-Prim算法和Kruskal算法
该文转自《最小生成树-Prim算法和Kruskal算法》
Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
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此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
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顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
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下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
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在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
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这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
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顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
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现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
4.算法代码实现(未检验)
1 #define MAX 100000 2 #define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10 3 4 int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/}; 5 int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边 6 int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew 7 int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点 8 9 10 void prim(int start) 11 { 12 int sumweight=0; 13 int i,j,k=0; 14 15 for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1开始 16 { 17 lowcost[i]=edge[start][i]; 18 addvnew[i]=-1; //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外 19 } 20 21 addvnew[start]=0; //将起始点start加入Vnew 22 adjecent[start]=start; 23 24 for(i=1;i<VNUM-1;i++) 25 { 26 int min=MAX; 27 int v=-1; 28 for(j=1;j<VNUM;j++) 29 { 30 if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径 31 { 32 min=lowcost[j]; 33 v=j; 34 } 35 } 36 if(v!=-1) 37 { 38 printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]); 39 addvnew[v]=0; //将v加Vnew中 40 41 sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和 42 for(j=1;j<VNUM;j++) 43 { 44 if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j]) 45 { 46 lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost 47 adjecent[j]=v; 48 } 49 } 50 } 51 } 52 printf("the minmum weight is %d",sumweight); 53 }
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
4.代码算法实现
1 typedef struct 2 { 3 char vertex[VertexNum]; //顶点表 4 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 5 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 6 }MGraph; 7 8 typedef struct node 9 { 10 int u; //边的起始顶点 11 int v; //边的终止顶点 12 int w; //边的权值 13 }Edge; 14 15 void kruskal(MGraph G) 16 { 17 int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; 18 int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通 19 int E[EdgeNum]; //存放所有的边 20 k=0; //E数组的下标从0开始 21 for (i=0;i<G.n;i++) 22 { 23 for (j=0;j<G.n;j++) 24 { 25 if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) 26 { 27 E[k].u=i; 28 E[k].v=j; 29 E[k].w=G.edges[i][j]; 30 k++; 31 } 32 } 33 } 34 heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列 35 for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组 36 { 37 vset[i]=i; 38 } 39 k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数 40 j=0; //E中的下标 41 while (k<G.n) 42 { 43 sn1=vset[E[j].u]; 44 sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号 45 if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树 46 { 47 printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w); 48 k++; 49 for (i=0;i<G.n;i++) 50 { 51 if (vset[i]==sn2) 52 { 53 vset[i]=sn1; 54 } 55 } 56 } 57 j++; 58 } 59 }
时间复杂度：elog2e e为图中的边数