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数据结构复习笔记

数据结构

简单地梳理一下数据结构课程的主要内容

目录
  • 数据结构
    • 绪论
    • 线性表
      • 顺序表
      • 链表
    • 栈和队列
      • 栈
      • 队列
      • 栈和队列应用
      • 数组、矩阵
    • 串
    • 树和二叉树
      • 树的基本概念
      • 二叉树
      • 树和森林
      • 树的应用
    • 图
      • 存储结构
      • 遍历
      • 应用
    • 查找
      • 线性结构
      • 树形结构（略）
      • 散列结构
    • 排序
      • 算法描述
      • 排序算法的比较

绪论

  • 数据结构三要素
    • 逻辑结构
      • 线性结构：一般线性结构、栈、队列、数组、广义表
      • 非线性结构：集合、树形结构、图状结构
    • 存储（物理）结构
      • 顺序存储
      • 链式存储
      • 索引存储
      • 散列存储
    • 数据的运算
  • 算法评估
    • 时间复杂度：基本运算的频度
    • 空间复杂度

线性表

  • 顺序存储：顺序表
  • 链式存储：
    • 单链表（指针）
    • 双链表（指针）
    • 循环链表（指针）
    • 静态链表（借助数组实现）

顺序表

  • 定义
  • 基本操作
    • 插入：平均移动 n/2 复杂度O(n)
    • 删除：好1 坏n 平均 (n-1)/2
    • 查找：平均 (n+1)/2
  • 常考问题：
    • 就地逆置
    • 扫描的同时移动
    • 两表归并
    • 二分查找
    • 分区间反转

链表

  • 定义：空间分配、头结点
  • 基本单链表
    • 建表：头插法、尾插法
    • 插入、删除
    • 查找：按序号，按值
  • 双链表：前后双指针
  • 循环链表：头尾相连
  • 静态链表 数组，每个元素包含当前值和下一个元素下标

栈和队列

  • 操作受限线性表
    • 栈：顺序栈、链栈、共享栈
    • 队列：循环队列、链式队列、双端队列
  • 推广：
    • 一维数组
    • 多维数组：压缩存储、稀疏矩阵
    • 广义表

栈

  • 定义：栈顶、栈底、空栈
  • 基本操作：初始化、判空、进出、取顶、销毁
  • 顺序栈：数组、栈顶指针
  • 共享栈：仅两个栈顶指针相邻时满，降低上溢发生的概率
  • 链栈：不存在上溢

队列

  • 定义：队头、队尾
  • 基本操作：初始化、判空、出入、读队头
  • 具体实现
    • 顺序存储：假溢出
    • 循环队列：顺序+取模
    • 链式存储
    • 双端队列：输入受限、输出受限 两端可以X仅一端可以Y

栈和队列应用

  • 括号匹配
  • 表达式求值：前缀 中缀 后缀转换
  • 递归
  • 合法序列
  • 回文 字符串中心对称
  • 判空 满 top=0 or -1两种情况
  • 括号匹配
  • 层次遍历

数组、矩阵

  • 数组：行优先、列优先
  • 压损存储：
    • 对称矩阵
    • 三角矩阵
    • 三对角矩阵
    • 稀疏矩阵：三元组

串

  • 定义：字符组成的有限序列
  • 存储：定长、堆分配、块链存储
  • 基本操作：赋值、复制、判空、比较、连接....
  • 模式匹配：
    • 暴力匹配法
    • KMP算法 next数组求解

树和二叉树

树的基本概念

  • 根节点，前驱节点，后继结点，
  • 双亲结点，孩子结点，子孙节点，祖先结点，
  • 分支节点，叶子结点
  • 层次，深度，高度
  • 有序树，无序树（左右结点有无区分）
  • 路径，路径长度，带权路径长度（所有节点）
  • 森林
  • 性质
    • 结点数(n) = 结点的度数(i x ni) + 1
    • 度为m的树i层上最多 m^(i-1)个结点
    • 高度为h的m叉树至多有(m^h -1)/(m-1)个结点

二叉树

  • 定义
  • 特殊的二叉树
    • 满二叉树：树中每层含最多结点
    • 完全二叉树：i<=int(n/2) 分支节点 其余为叶子结点 至多有1个度为1的结点
    • 二叉排序树：空树or二叉树且关键字 左<根<右
    • 平衡二叉树：左右子树高度差不超过1的二叉排序树
  • 性质
    • 叶子结点树等于度为2的结点数+1 n0 = n2 + 1
    • 第k层上最多2^(k-1)个结点
    • 高度为h的二叉树上最多有2^h - 1个结点
    • 完全二叉树 编号1开始 任意结点i 左子2i 右子2i+1
    • 完全二叉树 i结点 层次 int(log2i) +1
    • n个结点完全二叉树高度 int(log2(n)) + 1
  • 存储结构
    • 顺序存储 自上而下由左至右编号 存在数组中
    • 链式存储 data left right
  • 二叉树的遍历
    • 先序遍历
    • 中序遍历
    • 后序遍历
    • 递归算法与非递归算法的转换
    • 层序遍历
    • 通过遍历构造二叉树：先中，后中，层中；仅先后序无法确定
  • 线索二叉树
    • data, left, right, lflag, rflag
    • flag标记指的是子孙结点还是前驱（左） 后继（右）
    • 根据前驱后继又分 前中后序线索二叉树

树和森林

  • 树的存储结构（树结点孩子个数不固定，无先后顺序）
    • 双亲表示法：数组or链表 每个结点 data paren
    • 孩子表示法：数组 data child链
    • 孩子兄弟表示法：左孩子右兄弟
  • 树、森林与二叉树的转换
    • 树->二叉：左孩子右兄弟
    • 森林->二叉：每个树转二叉树，第一棵树作为转换后的根，二三四相继接在根的右侧
    • 二叉树->森林：先转成二叉树森林，再转树森林
  • 树和森林的遍历
    • 树
      • 先根遍历 该树对应的二叉树先序遍历
      • 后根遍历 该树对应的二叉树层次遍历
    • 森林
      • 先序遍历
      • 中序遍历

树的应用

  • 并查集，操作：并，查，初始化，常用双亲表示法+数组
  • 二叉排序树
    • 定义， 中序遍历为递增有序序列
    • 查找，取决于树形
    • 插入，构造，删除
  • 平衡二叉树
    • 定义
    • 插入，调整 LL，RR，LR，RL
    • 查找，平均logn
  • 哈夫曼树、哈夫曼编码
    • 树的带权路径长度 = 所有叶节点带权路径长度之和
    • 使得 ↑ 最小的树
    • 构造：小的相结合
    • 二进制编码：树根开始左0 右1，前缀编码

图

  • 定义，顶点集V，边集E
  • 有向图、无向图
  • 简单图，多重图：重复边，回到自身的边
  • 完全图：任意两个结点之间存在边
    • n顶点无向 n(n-1)/2
    • 有向 n(n-1)
  • 子图
  • 连通图，连通分量
  • 强连通图，强连通分量： 有向图
  • 生成树，生成森林：包含所有顶点的极小连通子图；多个子图组成森林
  • 顶点的度，入度，出度
  • 边的权
  • 稠密图，稀疏图
  • 路径，路径长，贿赂

存储结构

  • 邻接矩阵：
    • 顶点表，边表（邻接矩阵） N*N
    • 适合存储稠密图
  • 邻接表法：
    • 顶点表：data，firstarc 第一个出边
    • 边表：adjvex, nextarc 邻接点，下一边
    • 适合存储稀疏图
  • 十字链表法
    • 有向图适用
    • 顶点结点 出边链，入边链
    • 弧结点 头，尾，下一指同头的弧，下一条指同尾的弧
  • 邻接多重表
    • 无向图
    • 与十字链表类似 顶点结点仅1个边链

遍历

  • 深度优先搜索 DFS
    • 递归 栈空间 O(V)
    • 邻接表 O(E + V)
    • 邻接矩阵 O(V^2) 查早每个顶点的邻接结点
    • 类似二叉树先序遍历
  • 广度优先搜索 BFS
    • 辅助队列 空间 O(V)最坏
    • 邻接表 O(V + E)
    • 邻接矩阵 O(V^2)
  • 图的遍历与连通性
    • 无向图：连通则一次遍历到所有点
    • 有向图：仅能判断是否强连通

应用

  • 最小生成树
    • 权值之和最小，不唯一
    • Prim：选顶点开始，依次添加距离S集合最近的S外结点 类似dijkstra; 适合稠密图 O(V^2)
    • Kruskal：依次选不构成回路的最小边，添加进集合S；适合稀疏图 O(ElogE)
  • 最短路径
    • Dijkstra：
      • 单源最短路径
      • 依次添加距离源点最近的结点，更新源点到其他各点的最短长度
      • path数组记录前驱节点用于溯源
      • 稀疏图 O(V^2)
    • Floyd：
      • 计算各顶点间的最短路径；
      • 方阵序列，依次在路径中加入新点，更新各点距离
      • 用辅助矩阵path记录路径
      • 稠密图 O(V^3) 比V次dijkstra高效 加上的额外因子小
  • 关键路径
    • AOE网
    • 关键路径、关键活动 （减少这些时间可加快整体速度）
    • 事件V 最早最迟发生时间
    • 活动E 最早最迟开始时间
  • 拓扑排序
    • 有向无环图 DAG图
    • AOV网 顶点活动 边关系 先后关系
    • 拓扑排序产生序列依次消解
    • 可判断是否有环

查找

评价指标：平均查找长度ASL 成功和失败

线性结构

  • 顺序查找
    • 哨兵
    • 成功 (n+1)/2, 失败 n + 1
    • 有序时，可降低失败的平均查找长度 n/2 + n/(n+1)
  • 折半查找
    • 有序顺序表
    • low，high，mid
    • 成功 log(n+1) - 1
    • 失败看具体情况计算ASL
  • 分块查找
    • 顺序查找+折半查找
    • 块间有序，块内无序
    • n 分 b块 每块s
    • s = √n 时候中最高效

树形结构（略）

  • B树
  • B+树

散列结构

  • 散列函数，散列表
  • 散列函数构造
    • 直接定址法
    • 除留余数法
    • 数字分析法
    • 平方取余法
    • 折叠法
  • 冲突处理
    • 开放定址法：线性探测、平方探测法、再散列法
    • 拉链法
  • 性能分析 装填因子：记录数/散列表长度

排序

  • 排序的稳定性：相等大的元素排序后的相对位置变化与否
  • 衡量标准：时空复杂度

算法描述

  • 内部排序
    • 插入排序
      • 直接插入：有序|无序 两个区域，无序区域元素直接插入有序区域，边判断边移动
      • 折半插入：在直接插入的基础上通过折半查找插入位置，找到位置后统一移动元素
      • 希尔排序：用步长将表分为几个子表，在子表内直接插入排序，缩小步长继续排序 e.g. 步长 n/2, n/2/2
    • 交换排序
      • 冒泡排序：从后往前，两两比较交换，一趟排序没有交换即完成。
      • 快速排序：划分操作（左右比较向中移动找枢轴），一次确定一个元素的最终位置，左右递归排序。时间效率与是否平均划分有关。
    • 选择排序
      • 简单选择排序：每一趟排序选取一个无序区域最小元素和无序区第一个元素交换
      • 堆排序：大根堆小根堆，
        • 建堆 从最后一个有孩子的结点开始向上调整O(n)
        • 删除 头尾交换，向下调整
        • 插入 插入末端向上调整
        • 排序 建堆 进行n-1次删除操作 O(n) + (n-1) * O(logn) O(nlogn)
    • 归并排序：由小到大前后两个子表归并
    • 基数排序：多次分配、收集
  • 外部排序：多路归并排序

排序算法的比较

算法名 时间复杂度 空间复杂度 稳定性 表的条件 备注
直接插入排序 好O(n); 坏,平均O(n^2) O(1) 稳定
希尔排序 O(n^3/2) O(1) 不稳定 仅顺序存储
冒泡排序 好O(n); 坏,平均O(n^2) O(1) 稳定 有序子序列全局有序
快速排序 坏O(n^2); 好,平均O(nlogn) O(logn) 不稳定 皆可，实现有差异 坏：基本有序
简单选择排序 O(n^2) O(1) 不稳定
堆排序 O(nlogn) O(1) 不稳定
归并排序 O(nlogn) O(n) 稳定
基数排序 O(d+r) O(r) 稳定 d:分配数 r:队列数

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他