坐标的平移，旋转，缩放矩阵

1、二维坐标的平移，旋转、缩放矩阵

• 平移矩阵M：

 1    0    0

 0    1    0    

 dx  dy   1

D2 = D1*M

• 旋转矩阵M

设某点与原点连线和X轴夹角为b度，以原点为圆心，逆时针转过a度  , 原点与该点连线长度为R, [x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

x = Rcos(b) ; y = Rsin(b);

X = Rcos(a+b) = Rcosacosb - Rsinasinb = xcosa - ysina; (合角公式)

Y = Rsin(a+b) = Rsinacosb + Rcosasinb = xsina + ycosa ;

绕原点的旋转矩阵表示：

                               cosa   sina  0

 [X, Y, 1] = [x, y, 1][-sina  cosa  0  ] 

                                 0        0     1

 cosa   sina  0

 -sina  cosa  0  为旋转变换矩阵。

   0       0     1 

• 缩放矩阵

 设某点坐标，在x轴方向扩大 sx倍，y轴方向扩大 sy倍，[x,y]为变换前坐标， [X,Y]为变换后坐标。

 X = sx*x; Y = sy*y;

则用矩阵表示：

                                sx    0    0

[X, Y, 1] = [x, y, 1][ 0    sy    0  ] ; 

                                0     0     1

 sx    0    0

 0    sy    0  即为缩放矩阵。 

 0     0     1

 

2、三维坐标的平移，旋转、缩放矩阵

• 平移矩阵M

1    0    0    0

0    1    0    0

0     0   1    0

dx   dy  dz  1

• 缩放矩阵​​​​​​​

Sx    0    0    0

0     Sy   0    0

0     0     Sy  0

0     0     0    1

• 旋转矩阵

绕X轴旋转θ度

1     0        0         0

0     cosθ   sinθ    0

0     -sinθ   cosθ   0

0     0         0        1

绕Y轴旋转θ度

cosθ     0        -sinθ     0

0          1        0           0

sinθ      0       cosθ      0

0           0       0           1

绕Z轴旋转θ度

cosθ   sinθ      0         0

-sinθ   cosθ     0         0 

0         0          1         0

0         0          0         1

 

参考：

1. 二维几何变换
2. 矩阵运算——平移，旋转，缩放
3. 三维坐标变换原理-平移, 旋转, 缩放