2.12拓扑空间

Preface

数学分析、数理统计、拓扑学构成数学三大支柱。
基础数学比较抽象，拓扑学也是如此，以什么样的方式去学习呢。数学方法相似相通，许多概念可以变得更加容易接受和理解。基础数学给人的感觉就是以一个相对广阔的视角去思考问题，拓扑学就是建立在开集的基础之上。

参考资料

《拓扑学（原书第2版）》Munkres著
习题解答: http://web.math.ku.dk/~moller/e03/3gt/3gt.html
《基础拓扑学讲义》尤承业著

引入

拓扑学(topology)，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。如凸多面体的面数F，棱数L，顶点数V满足Euler公式：F-L+V=2,一笔画问题等。
学习拓扑学之前，按照Munkres给的建议，应学习完《拓扑学（原书第2版）》第一章的前七节。按照个人的理解，前七节在讲广义上的集合，就像是近世代数与初等数论中的群一样，不过这里的对象是集合，看完可以选择做一些习题。

2.12拓扑空间

拓扑空间

读一读定义
条件（2）和条件（3）都有“在T中”，换句话说就是封闭。想一想哪里起到封闭，无非在群论里面。对比环的定义：

+用∪来替代，.用∩来替代,只是在拓扑中，是有限的交和任意的并都在拓扑空间中。全集X和空集表示什么？全集X可以看成是乘法的单位元，空集为加法的零元。这直接说明了拓扑与环的关系，创造了群论和拓扑学的那些人都有着某种默契。拓扑学可以看成是集合上的环。由于拓扑学与几何有着联系，可以对拓扑性质有直观的认识。但是，拓扑学以开集为基础，有时可能考虑不到所有的情况。

从另一个角度来看：
集合X可以看成是幂集P(X)的子集，一个族T是幂集P(P(X))里的一个元素。
考虑到P(X)的个数为2^|X|,P(P(X))里的元素(即集合)数量可能非常大，但是只有一部分是符合拓扑中的交与并(封闭)的要求,因此，如果|X|是有限的，就可以算出幂集中是扑学空间的概率，显然这是一个映射。
设O为空集O

X={a} 时 ,T: {X,O}

X={a,b} 时,T: {X,O} {X,O,{a}} {X,O,{b}} {X,O,{a},{b}}

X={a,b,c} 时,T1={X,O,{a},{a,b}} T2={X,O,{c},{b,c}}，T…
T1,T2分别为一个拓扑，但T1 ∪ T2不是一个拓扑，T1 ∩ T2 = {b}不属于T1和T2。

考虑到拓扑空间是一个族，里面的一个元素为某个集合。当集合的个数为0时是空集，个数最大时时全集，其余的在0 ~ |x|之间。
个数为0时是空集，个数最大时时全集，其余的在0 ~ |x|之间。