常见复杂网络分析方法

注：本文部分内容来自《复杂网络分析与应用》与《中国航空复杂网络的结构特征与应用分析》
1.赵正旭,郭阳,等.复杂网络分析与应用[M]北京:科学出版社,2018.
2.陈航宇,李慧嘉.中国航空复杂网络的结构特征与应用分析[J].计算机科学,2019,s1:300-304.

1.基本分析方法

1.1.度和度的分布：
度是指与该节点直接连接的节点个数。度值的大小反映了节点在整个网络中的重要性。度分布p(k)反映了网络节点中度值为k的节点所占的比例。

1.2.平均路径长度
相互连接的两个节点i和j之间边数最少的路径所包含的边数即为这两个节点间的距离dij。取尽网络中任意两节点的组合，网络的平均路径长度定义为所有组合之距离的平均值：

1.3.聚类系数
聚类系数Ci是指所有与节点i相连的节点之间实际相连的边数占这些点可能的最大连边数目的比例，聚类系数反映网络节点的聚类情况：

其中，ki为与节点i连接的其他节点的个数；Ei为这ki个节点间相互连接的边数（两点之间的双向边和单向边都按1条计数）。整个网络C定义为网络中所有节点聚类系数的平均值：

其中，C取1说明网络中的所有节点都相连。

1.4.介数
网络中包含节点m的最短路径的条数定义为节点m的介数。介数的大小反映了节点在整个航空网络中的必要性和影响力，介数越大的节点在网络中的中枢性越强。（注意：介数与度值的概念，一个是必要性大，一个是重要性大）

1.5.核数
一个图的k-核是指反复去掉度小于或等于k的节点所剩余的子图。存在于k-核的节点，在（k+1）-核中被除去，则k就是该节点的核数。节点核数中的最大值称为网络的核数。节点的核数可以表明节点在核中的深度。图的核数大，说明图中大部分节点不会因为其他节点收到破坏而轻易脱离出网络，整个网络具有较深的层次。

2.关联分析方法

2.1.度度相关性
首先计算节点的邻点平均度：

其中，k为节点度值，节点j与节点i相连。将网络中节点度值都为k的所有节点Nk的邻节点的平均度knn,i取平均，得到度为k的节点的邻点平均度：

如果knn(k)随k的增加而增加，即knn(k)-k曲线斜率大于零，则表示度大的节点倾向于连接其他度大的节点，成为度正相关（或同配性）；反之，如果knn(k)随k的增加而递减，表示度大的节点倾向于连接其他度小的节点，成为度负相关（或异配性）；如果knn(k)不随k的变化而变化，则称节点的度是不相关。

2.2.度权相关性
定义含权的节点i的所有邻节点j的平均加权度为：

分析邻节点平均加权度随节点的加权度值S的变化，以及邻节点平均加权度随节点的度值k的变化。
分别分析邻节点平均加权度与节点度值之间，邻节点平均加权度与节点的加权度值之间的关系。若均呈现负相关性，则说明度大的节点偏好连接加权度小的节点；且若邻节点平均加权度随着节点度值与节点加权度值的增大，相关性趋势减弱，则说明权值对节点间的影响较大。

2.3.介数相关性
介数相关性描述的是节点根据介数相互选择的偏好。一个介数为g的节点i，与j节点相连，则节点i的邻点平均介数记为：

将网络中节点介数都为g的所有节点Ng的邻节点的平均介数gnn，i进行平均，得到“介数为g的节点的邻点平均介数”：

分析网络节点的邻点平均介数gnn与介数g的分布关系，若呈现明显的负相关性，说明介数大的节点偏好连接其他介数小的节点，反之，则说明介数大的节点偏好连接其他介数大的节点。

2.4.簇度相关性
节点的邻节点相互连接的集聚程度与节点度值的相关性成为簇度相关性。分析节点的度与平均聚类系数之间的关系。若度值大，聚类系数小，则说明度值大的为网络的中心。