知识点 - 扫描线

知识点 - 扫描线

解决问题类型：

二维平面上的矩阵运算

1. 面积交
2. 面积并
3. 周长交

实现

• 离散化: 这些技巧都是老生常谈的了, 不然浮点数怎么建树, 离散化x坐标就可以了
• 扫描线: 首先把矩形按y轴分成两条边, 上边和下边, 对x轴建树, 扫描线可以看成一根平行于x轴的直线.
  从y=0开始往上扫, 下边表示要计算面积+1, 上边表示已经扫过了−1, 直到扫到最后一条平行于x轴的边
  但是真正在做的时候, 不需要完全模拟这个过程, 一条一条边地插入线段树就好了
• 线段树: 用于动态维护扫描线在往上走时, x轴哪些区域是有合法面积的

ps:这种线段树是不用lazy的, 因为不用push_down, 为啥不用push_down, 因为没有查询操作

复杂度：

同线段树 $Olog(N)$

例题

HDU 1542 [POJ 1151] Atlantis （矩形面积并)

HDU 1255 覆盖的面积 （矩形面积交）

HDU 1828 [POJ 1177] Picture（矩形周长并）

代码

//矩阵面积并
/*
求N<=100个矩形的面积并
*/
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 205, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n;
struct Seg {
    double l, r, h; int d;
    Seg() {}
    Seg(double l, double r, double h, int d): l(l), r(r), h(h), d(d) {}
    bool operator< (const Seg& rhs) const {return h < rhs.h;}
} a[N];

int cnt[N << 2]; //根节点维护的是[l, r+1]的区间
double sum[N << 2], all[N];//all 是离散化数组，sum是线段树维护的数组

#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

void push_up(int l, int r, int rt) { //因为是面积交
    if(cnt[rt]) sum[rt] = all[r + 1] - all[l];
    else if(l == r) sum[rt] = 0; //leaves have no sons
    else sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}

void update(int L, int R, int v, int l, int r, int rt) {
    if(L <= l && r <= R) {
        cnt[rt] += v;
        push_up(l, r, rt);
        return;
    }
    int m = l + r >> 1;
    if(L <= m) update(L, R, v, lson);
    if(R > m) update(L, R, v, rson);
    push_up(l, r, rt);
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0);//这里存的矩阵是从下往上扫的。

    int kase = 0;
    while(scanf("%d", &n) == 1 && n) {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            double x1, y1, x2, y2;
            scanf("%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1, &x2, &y2);
            a[i] = Seg(x1, x2, y1, 1);
            a[i + n] = Seg(x1, x2, y2, -1);
            all[i] = x1; all[i + n] = x2;
        }
        n <<= 1;
        sort(a + 1, a + 1 + n);
        sort(all + 1, all + 1 + n);
        int m = unique(all + 1, all + 1 + n) - all - 1;

        memset(cnt, 0, sizeof cnt);
        memset(sum, 0, sizeof sum);

        double ans = 0;
        for(int i = 1; i < n; ++i) {
            int l = lower_bound(all + 1, all + 1 + m, a[i].l) - all; //得到离散结果
            int r = lower_bound(all + 1, all + 1 + m, a[i].r) - all;
            if(l < r) update(l, r - 1, a[i].d, 1, m, 1);
            ans += sum[1] * (a[i + 1].h - a[i].h);
        }
        printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2f\n\n", ++kase, ans);
    }
    return 0;
}

//HDU 1255 覆盖的面积 （矩形面积交）
/*
求N<=1000个矩形覆盖至少两次区域的面积,也就是矩形面积交

前面的与矩形面积并类似, 不同的是push_up的时候要考虑至少覆盖一次one和至少覆盖两次two的更新 
尤其是当前被覆盖了一次的时候, 由于没有push_down操作, 父亲节点的信息是没有同步到儿子节点的, 这样的话push_up就要考虑了.
父亲被记录覆盖了一次, 但是如果儿子被覆盖过, 这些操作都是在这个父亲这个大区间上的, 就相当于父亲区间被覆盖了至少两次, 所以two和one都要更新
*/
#include
using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 2e3 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n;
struct Seg {
    double l, r, h; int d;
    Seg() {}
    Seg(double l, double r, double h, double d): l(l), r(r), h(h), d(d) {}
    bool operator< (const Seg& rhs) const {
        return h < rhs.h;
    }
} a[N];

int cnt[N << 2];
double one[N << 2], two[N << 2], all[N]; //one 为只相交一次的，two为相交两次的

#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

void push_up(int l, int r, int rt) {
    if(cnt[rt] >= 2) two[rt] = one[rt] = all[r + 1] - all[l];
    else if(cnt[rt] == 1) {
        one[rt] = all[r + 1] - all[l];
        if(l == r) two[rt] = 0;
        else two[rt] = one[rt << 1] + one[rt << 1 | 1];
    } else {
        if(l == r) one[rt] = two[rt] = 0;
        else {
            one[rt] = one[rt << 1] + one[rt << 1 | 1];
            two[rt] = two[rt << 1] + two[rt << 1 | 1];
        }
    }
}

void update(int L, int R, int v, int l, int r, int rt) {
    if(L <= l && r <= R) {
        cnt[rt] += v;
        push_up(l, r, rt);
        return;
    }
    int m = l + r >> 1;
    if(L <= m) update(L, R, v, lson);
    if(R > m) update(L, R, v, rson);
    push_up(l, r, rt);
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    int t; scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            double x1, y1, x2, y2;
            scanf("%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1, &x2, &y2);
            a[i] = Seg(x1, x2, y1, 1);
            a[i + n] = Seg(x1, x2, y2, -1);
            all[i] = x1; all[i + n] = x2;
        }
        n <<= 1;
        sort(a + 1, a + 1 + n);
        sort(all + 1, all + 1 + n);
        int m = unique(all + 1, all + 1 + n) - all - 1;

        memset(cnt, 0, sizeof cnt);
        memset(one, 0, sizeof one);
        memset(two, 0, sizeof two);

        double ans = 0;
        for(int i = 1; i < n; ++i) {
            int l = lower_bound(all + 1, all + 1 + m, a[i].l) - all;
            int r = lower_bound(all + 1, all + 1 + m, a[i].r) - all;
            if(l < r) update(l, r - 1, a[i].d, 1, m, 1);
            ans += two[1] * (a[i + 1].h - a[i].h);
        }
        printf("%.2f\n", ans);
    }
    return 0;
}

//HDU 1828 [POJ 1177] Picture（矩形周长并）
/*
求N<=5000个矩形的轮廓长度,也就是矩形周长并

可以用类似矩形面积并的办法, 不过这次我们不乘高, 不算面积罢了.
需要注意的是, 由于周长的线会被重复覆盖, 我们每次需要和上一次的作差.
但是这样仅仅是x轴的, 不过我可以再y轴做一次加起来就可以了
*/

#include
using namespace std;
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
const int N = 1e4 + 10, INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 1e9 + 7;

int n, m[2];
int sum[N << 2], cnt[N << 2], all[2][N];
struct Seg {
    int l, r, h, d;
    Seg() {}
    Seg(int l, int r, int h, int d): l(l), r(r), h(h), d(d) {}
    bool operator< (const Seg& rhs) const {return h < rhs.h;}
} a[2][N];

#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1

void push_up(int p, int l, int r, int rt) {
    if(cnt[rt]) sum[rt] = all[p][r + 1] - all[p][l];
    else if(l == r) sum[rt] = 0;
    else sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}

void update(int p, int L, int R, int v, int l, int r, int rt) {
    if(L <= l && r <= R) {
        cnt[rt] += v;
        push_up(p, l, r, rt);
        return;
    }

    int m = l + r >> 1;
    if(L <= m) update(p, L, R, v, lson);
    if(R > m) update(p, L, R, v, rson);
    push_up(p, l, r, rt);
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d", &n) == 1) {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            int x1, y1, x2, y2;
            scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
            all[0][i] = x1, all[0][i + n] = x2;
            all[1][i] = y1, all[1][i + n] = y2;
            a[0][i] =     Seg(x1, x2, y1, 1);
            a[0][i + n] = Seg(x1, x2, y2, -1);
            a[1][i] =     Seg(y1, y2, x1, 1);
            a[1][i + n] = Seg(y1, y2, x2, -1);
        }
        n <<= 1;
        sort(all[0] + 1, all[0] + 1 + n);
        m[0] = unique(all[0] + 1, all[0] + 1 + n) - all[0] - 1;
        sort(all[1] + 1, all[1] + 1 + n);
        m[1] = unique(all[1] + 1, all[1] + 1 + n) - all[1] - 1;
        sort(a[0] + 1, a[0] + 1 + n);
        sort(a[1] + 1, a[1] + 1 + n);

//      for(int i = 0; i < 2; ++i){
//          for(int j = 1; j <= m[i]; ++j) cout << all[i][j] <<' '; cout << endl;
//      } cout << endl;

        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < 2; ++i) { //上下做一遍，左右做一遍
            int t = 0, last = 0;
            memset(cnt, 0, sizeof cnt);
            memset(sum, 0, sizeof sum);
            for(int j = 1; j <= n; ++j) {
                int l = lower_bound(all[i] + 1, all[i] + 1 + m[i], a[i][j].l) - all[i];
                int r = lower_bound(all[i] + 1, all[i] + 1 + m[i], a[i][j].r) - all[i];
                if(l < r) update(i, l, r - 1, a[i][j].d, 1, m[i], 1);
                t += abs(sum[1] - last);
                last = sum[1];
            }
            ans += t;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}