线性分式规划

对于一个线性分式规划，可以将其转化为线性规划问题求解。
$$\begin{array}{rlr}& \max & \frac{{\mathbf{c}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}+\alpha }{{\mathbf{d}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}+\beta }\\ & \text{s.t.}& \mathbf{A}\mathbf{x}\le \mathbf{b}\end{array}$$

分别用一个向量与一个标量替换分母与分子的系数项与常数项：

$$\begin{array}{r}\mathbf{y}=\frac{\mathbf{x}}{{\mathbf{d}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}+\beta }\\ t=\frac{1}{{\mathbf{d}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}+\beta }\end{array}$$

则原规划变为：

$$\begin{array}{rlr}& \max & {\mathbf{c}}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}+\text{t}\\ & \text{s.t.}& \mathbf{A}\mathbf{y}\le \text{t}\mathbf{b}\\ & & {\mathbf{d}}^{\mathbf{T}}\mathbf{y}+\beta \text{t}=\text{1}\\ & & t\ge 0\end{array}$$

原问题的解为：
$$\mathbf{x}=\frac{\mathbf{y}}{\text{t}}$$

还可以将其转化为对偶问题求解。线性分式规划是一个伪凸规划（导函数大于零的可导函数）或伪凹规划，可以通过线性规划算法求解。在DEA数据包络分析中该规划为 $C^{2}R$ 模型（简单的 C2R 模型比上面的规划更简单，没有常数项）。