矩阵迹（trace）与行列式（determinate）的一些性质

1. 迹（trace）

矩阵的迹（trace）表示矩阵 $A$ 主对角线所有元素的和，即
$$\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$$

性质：
(1) $tr(A)=tr(A^T)$
(2) $tr(AB)=tr(BA)$
(3) $tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$ 循环性
(4) 若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $tr(A)=tr(B)$，因为 $tr(A)=tr(PB{P}^{-})=tr(P{P}^{-}B)=tr(B)$
(5) $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$

2. 行列式（determinant）

矩阵 $A$ 的行列式值记为 $\text{det}(A)$。
它的性质：
(1) $det(A)=det(A^T)$
(2) $det(A)=1/det(A^{-})$
(3) $det(AB)=det(B)det(A)$
(4) 若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $det(A)=det(B)$