数学也荒唐：20个脑洞大开的数学趣题

内容简介

本书用20个数学问题探讨了代数、概率学、统计学、平面几何、图论、拓扑学等主题，在意想不到的趣题中探讨数学难题，让貌似艰涩的数学显得轻松有趣，让貌似荒唐可笑的问题展示数学的乐趣。

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• 脑洞大开的荒唐问题，另类的数学研究，启发心智的思考
  
• 令人捧腹的笑话，丰富的漫画，让数学不再枯燥晦涩

作者简介

杰罗姆 · 科唐索 （Jérôme Cottanceau），数学教师，创作了法国知名数学博客“花椰菜”，凭借幽默风趣的叙述风格，广受中学生和大学生的欢迎。

本书内容

前言

数学有什么用？

从事数学工作的人总被问起：数学有什么用？不管是学者、教授、学生还是普通的爱好者，总得为自己喜欢数学找个理由。有些人问得还算坦诚，比如：“代数是用来做什么的？”或者：“统计还有点用处，但我真不知道函数能有什么用。”有些人则略带嘲讽：“我真搞不懂数学，这玩意儿什么用也没有。”或者：“现在都有计算器了，还研究个什么劲儿啊？”这些话确实有些恼人，那该如何回答呢？

我们大致可以从两方面反驳“数学无用论”。一方面，可以说说数学的实际用途：比如，数论[1]就是加密的基础，没有加密，银行交易就会十分不安全，而代数[2]和逻辑则是信息科学不可分割的一部分；金融中要用到概率，生物学家也要用概率来分析生物可能的进化过程；有了图论，全球定位系统（GPS）才能找出道路网络上两点之间的最短路线；更不用说分析学[3]和物理学之间的紧密关系了。

另一方面，我们可以让人感受一下“数学之美”。这里不是要说“自相似”的分形几何之美，如宝塔花菜的奇妙外形或布列塔尼蜿蜒曲折的海岸线，也不是为人津津乐道的黄金比例——传说中，是它造就了古希腊帕特农神庙的完美比例，而且我们的银行卡也是按它制作的。“数学之美”不是视觉上的美，而是数学给人带来的精神愉悦。如果一个公式能把两个相去甚远的领域联系起来，我们就可以称之为“美”。比如，等式1+1/2²+1/3²+1/4²+…=π²/6把 π 与无穷数列联系了起来。如果一个证明简洁奇妙，另辟蹊径，那也可以说它十分优美。但是，如果对方认定了数学没什么用，那以上这些回答都不能让他满意。制造手机当然需要许多软件和硬件方面的数学知识，但手机用户完全不用懂得那么多。欧拉恒等式在数学家眼里十分优美，因为它把所有数学基本常数囊括在一个公式里，但在普通人看来，这没有什么了不起的。

那些问“数学有什么用”的人，是想让别人用一句话点醒他，为什么会有人对这些抽象的问题乐此不疲，而不管有没有实际意义？数学专业人士或者爱好者能给的答案也只有自己由衷的喜爱之情了，而正是这种喜爱之情，反而能让旁人认同。有人喜欢数学，有人喜欢收集迪士尼小徽章，这在本质上没有什么不同。

现在，让我们试着从第三个角度来回答“数学有什么用”的问题。这本书深入浅出地列举了数学在日常生活中的“具体”应用。但要注意的是，某些对数学家来说很具体的问题，在普通人看来可能并非如此。下面说到的问题包括怎么贴瓷砖、怎么摞煎饼、怎么让民主更民主一些、怎么闭着眼睛赢得法网公开赛，等等。当然，还有最重要的问题：上厕所的时候怎么选择小便器。数学能解决这么多荒唐的趣题，还需要找什么具体应用呢？

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[1] 数论研究整数的性质及其运算，如质数、平方等。

[2] 代数可定义为研究数学对象之间变换关系的科学，如几何中的对称就是一种变换关系。

[3] 分析学是数学的一个分支，研究函数的性质及其变换，如极限、连续、导数、积分等。

01　早餐代表我的心

“亲爱的，天亮了，今天是2月14号，我特意为你准备了早餐。不用起床了，就在床上吃。好丰盛的，有刚出炉还冒着热气的羊角面包，有一大杯我刚刚亲手榨的橙汁，有新鲜水果，还有最重要的，一大碗牛奶！”

“你对我太好了，但为什么有牛奶呢？你知道我喝牛奶不消化啊……”

“很简单啊，因为这碗牛奶代表我对你的爱，你看看碗里面有什么……”

* * *

早餐是一天中最重要的一餐。每天早上，我都目光呆滞地盯着麦片盒上的配料表，心里默念这句话，等着没睡够的倦意退去。如果你泡了碗麦片，冲了杯咖啡或者倒了杯果汁，那么，在阳光的照耀下，杯子里面会出现一个类似心形的形状（图1.1）。

图 1.1　阳光照射下的碗里出现心形（图片来源：© Gérard Janot, CC BY-SA 3.0）

这个心形是怎么来的呢？

答案其实很简单，但先要了解下数学家是如何定义心形的。

画一颗心给你！

有了合适的方程和绘图仪，什么东西都可以画出来。Wolfram[1]公司市场部的编辑理查德 · 克拉克特别擅于用傅里叶变换写图形方程。有了他的贡献，我们才能把皮卡丘也用方程表示出来（图1.2a）——我在这里就不把方程写全了，如果要写全，一页纸都不够。美国一所高中的数学老师 J. 马修 · 雷吉斯特也是图形方程的好手。2011 年，他的学生把他的蝙蝠侠图标方程（图1.2b）发到了网上，引起了轰动。言归正传，数学爱好者给出了许多心形方程，各有千秋，但数学界“心有独钟”：他们认定用简单方程描绘的“心形线”（图1.2c 和图1.2d）。

心形线在英语里叫作 cardioid，这个词来自希腊语：kardia 意为“心”，eidos 意为“形”。心形线有许多不同的定义方法，但是异曲同工（图1.2）。我们可以想象一个圆沿着另一个圆外侧滚动而不滑动，不动的圆叫作“准圆”，动圆上某一点的轨迹称为“外摆线”（epicycloid），这个词也来自希腊语：epi 意为“上”，kuklos 意为“圆”。准圆和动圆的半径相等时，就得到了心形线。如果动圆在准圆内部，而准圆的半径是动圆的2倍，也会得到心形线。

18世纪初，布莱兹 · 帕斯卡的父亲艾蒂安 · 帕斯卡在对摆线的研究中提到了这种曲线，虽然言辞含糊，但这是历史上首次出现。其他数学家对这种曲线也是兴致勃勃。1708年，法国数学家菲利普 · 德拉意尔证明心形线的长是准圆半径的16倍。直到1741年，乔瓦尼 · 达卡斯蒂利奥内才根据形状将其命名为“心形线”。

图 1.2　几条有趣的曲线

^{(a) 理查德 · 克拉克的皮卡丘曲线。这是一个参数方程，t 的取值在0到 2π 之间，曲线上某一点的坐标由(x, y)关于 t 的函数确定，即(x(t), y(t))。这里只给出了皮卡丘轮廓线的方程，完整的方程是其10倍长。}

^{(b) J. 马修 · 雷吉斯特的蝙蝠侠图标曲线。起初方程只有一个解析式，以椭圆方程和直线方程为基础。}

^{(c) 尤尔根 · 科勒的心形曲线。}

^{(d) 参数方程给出的心形线。}

第二种构建心形线的方法是：取圆上一点 P，以圆上其他点为圆心，作经过点 P 的圆，所有这些圆内包于一条心形线。

更让人意想不到的是，心形线还可以通过数论的方法来构建。在圆周上均匀地取100个点，编为0到99号，然后把各个点与编号为其2倍的点相连，如果编号的2倍大于等于100，则以减去100计，即编号乘2得100则对应点0，编号乘2得102则对应点2。按这种方法，点21与点42相连，点53与点6相连。所有这些线段形成心形线。取的点越多，心形线就越准确（图1.3）。

图 1.3　构建心形线的几个方法

^{可以是圆的外摆线 (a)，也可以是经过圆周上一点且圆心也在此圆周上的圆的包络线 (b)，或者圆周上某点与其2倍编号点连线的包络线 (c)。}

说了这么多，还没有解释碗里怎么会有一颗“心”。真正原因是，心形线是圆的“散焦线”。

光之几何

光线照射到圆形容器的边缘，会发生反射。假设阳光是平行光，让我们来观察一下反射光路：根据光的反射定律，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角，法线是圆在入射点上切线的垂线（图1.4）。

图 1.4　光在曲线上的反射

^{根据光的反射定律（又称“斯内尔 - 笛卡儿第一定律”），反射角（红色）等于入射角（蓝色）。}

阳光视为平行光，照射到杯沿并经过反射后，汇集成的曲线就是所谓的“散焦线”，与所有反射光路相切。这里的散焦线和心形线很相似（图1.5a）。

图 1.5　(a) 将阳光视为平行光，反射以后形成的“散焦线”与心形线很相似。这其实是另一种外摆线，称为“肾形线”。(b) 当光源位于圆周上的一点时，才能得到心形线

但是，这样得到的曲线并不是真正的心形线，心形线与圆周不会相交。其实，这是半肾形线，可以视为心形线的“亲戚”，因为它们都是外摆线的一种。如果准圆的直径是动圆的2倍，就会得到肾形线（图1.6）。肾形线有两个对称轴和两个回复点，即曲线好像要往回走的那一点。“肾形线”这个词英语为 nephroid，也来自希腊语，nephrós 意为“肾”。这听起来就没“心形线”那么浪漫了。

图 1.6 如果准圆的半径是动圆的2倍，则动圆上某点的轨迹是另一种外摆线，称为“肾形线”

但不要担心，想要杯子里出现心形线很简单，只要把光源移近一点就行。光源在杯子的圆周上时，出现的就是标准的心行线（图1.5b）。下一个情人节，你就可以省着点过啦！不用去高级餐厅吃大餐，只要一盏灯和一碗牛奶就够了，然后再给他或她念一首诗，完美[2]！

* * *

如果你是外摆线，你会是一条心形线。

如果你是全纯函数，你就是正弦的平方，

而我就是余弦的平方，我们刚好合二为一。

如果你是偶数，你会是28，因为28是完全数。

如果你是奇数，你依然会是完全数。

但只有我知道，你这个奇完全数的存在。

如果你是对数，你将会……那个……你懂的。

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[1] Wolfram Research 是一家美国公司，主攻数学领域，其产品 Mathematica 是一种科学计算软件，其开发的网站 Wolfram| Alpha 是一种计算搜索引擎。

[2] 如果你真的这么做了，但你的心上人并不领情，作者不承担任何责任。

02　照（不）亮你的家

03　瓷砖铺法知多少

04　青梅竹马分披萨

05　如何平分有菠萝、奇异果和樱桃的蛋糕

06　创意桌上游戏

07　挂不上墙的神作

08　认识地球的形状

09　认识宇宙的形状

10　教你数数

11　争霸法国网球公开赛

12　你究竟有几个冷笑话

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14　如何选秘书

15　山无陵，天地合，乃敢与君绝

16　议会席位怎么分？

17　如何选总统？

18　走出迷宫

19　盖茨翻煎饼

20　小便器优选法

参考文献

阅读全文: http://gitbook.cn/gitchat/geekbook/5b7a42c49a18602b5bc07a14